Julia集上的Lyapunov指数和Birkhoff谱及复方法在薛定谔算子中的应用

In this research project, we will study the spectrum of Lyapunov exponents and Birkhoff averages for the Julia set in complex dynamical system and the application of complex methods in Period-doubling discrete Schrodinger operator dynamical system. The research problems in the first part were motivated by the recent progress made by Przytycki and his collaborators on the study of the spectrum of Lyapunov exponents and by Sarig's breakthrough on Markov partition for the diffeomorphism on compact Riemann surface. We will study the local version of Bowen-Ruelle-Manning-Young formula for Lyapunov spectrum and Birkhoff spectrum of rational functions, Markov partition under the setting of ergodic measure with positive entropy. And we also the generalized Lyapunov spectrum and Birkhoff spectrum for the transcendental dynamical system. In the second part, We will analyze the relation between the spectrum of Period-doubling Schrodinger operator and Julia set by applying complex methods of the ideas from recent progress in Eremenko conjecture, normal family theory, renormalized operator, phase-energy transition etc.

在本项目中，申请人将主要研究复动力系统Julia集上的Lyapunov指数谱和Birkhoff谱以及复方法在离散的薛定谔算子动力系统中Period-doubling模型的应用。 第一部分的问题主要是受到了Przytycki等在Lyapunov指数谱和Sarig关于紧曲面微分同胚的Markov分划两项重要的进展的启发。 我们将研究有理函数Julia集上的Lyapunov指数谱和Birkhoff谱的局部Bowen-Ruelle-Manning-Young公式和关于正熵测遍历度的测度意义的Markov分划。此外还将考虑超越函数的广义Lyapunov指数谱和Birkhoff谱。在第二部分, 我们将利用Eremenko猜想的进展的想法、正规族理论、重整化算子、Phase-energy转移映射等复方法研究Period-doubling薛定谔算子模型的谱集与Julia集的联系。

我们将利用Eremenko猜想的进展的想法、正规族理论、重整化算子、Phase-energy转移映射等复方法研究Period-doubling薛定谔算子模型的谱集与Julia集的联系。这类有本源代换生成的薛定谔算子的研究方法和和解析位势对应的薛定谔算子模型具有很大的差异。 倍周期薛定谔算子模型诱导的迹多项式会自然诱导一个二维多项式动力系统。尽管多复变动力系统再过去30年中已经有很大的进展，但是这些研究工具和方法似乎无法用来有效地研究倍周期模型中对应的二维动力系统，特别是对于该二维动力系统的双曲型很难进行有效地控制和分析。我们在研究中通过分析薛定谔算子谱集gap，迹多项式的零点的组合结构，建立了谱集的Markov parition这一组合模型，并且通过该组合模型证明了倍周期薛定谔算子谱集Hausdorff维数一致下界估计。..此外，我们对C^1条件下建立了一类具有抛物不动点的非一致双曲动力系统研究了内蕴多重分形分析，突破了以往需要distortion的技术性障碍，为部分解决Pollicott等人的一个公开问题建立了的基础。与合作者合作证明了差分版本的Gundersen-Rubel-Yang的2CM唯一性定理，解决了陈宗煊与仪洪勋的一个公开问题，这个工作采用了全新的方法突破了差分值分布当前研究中的一个关键技术瓶颈。我们期待这个方法对于将来的这个领域的研究有重要的借鉴意义。近期与合作者部分解决了Markus关于zeta函数和Gamma函数代数微分联合独立性公开问题。