关于多项式Lienard 系统的全局分岔与Hilbert第16问题

By the qualitative theory and bifurcation theory of differential equations, we study bifurcation diagram and global phase portraits of some polynomial Lienard systems. We will study the number of limit cycles of a cubic Lienard system. Moreover, Khibnik, Krauskopf and Rousseau conjecture that the double limit cycle bifurcation curve of this system is unique. We will study completely for the one equilibrium case, we have studied the two equilibria case and three equilibria case. For a cubic Lienard system with a cusp, we discuss the amplitudy of limit cycles and the smoothness and monotonicity of the double limit cycle bifurcation curve. For other polynomial Lienard systems, considering g(x) is a cubic odd function and f(x) is a quartic even function, and g(x) is a quintic odd function and f(x) is a quadratic even function, we give the bifurcation diagram and global phase portraits. Furthermore, we discuss the amplitude of limit cycle of asymmetric Lienard systems and the amplitudes of more than one limit cycles of Lienard system with symmetric. Note that all the results are global. That means the bifurcation diagram are in the whole parameter space and the phase portraits are in the whole x–y plane.

通过微分方程分岔理论与定性理论，研究几类多项式Lienard系统的分岔图与全局相图。分析一类三参数三次Lienard系统的极限环数目，证明Khibnik, Krauskopf和 Rousseau的猜想剩余的一个奇点情形，其中两个和三个奇点情形被申请者和合作者完整解决。对一类具有尖点的三次Lienard系统，在之前工作基础上，讨论其极限环的振幅、二重极限环分岔曲线的光滑性与单调性。对其它多项式 Lienard 系统，如g(x)为三次多项式与奇函数且f(x)为四次多项式与偶函数，以及g(x)为五次多项式与奇函数且f(x)为二次多项式与偶函数等，证明其分岔图与全局相图。探讨非对称 Lienard 系统的极限环振幅和对称 Lienard 系统具有多个极限环情况下的振幅。值得注意的是所有结果都是全局的，这意味着分岔图都是将整个参数空间刻分且相图也在整个平面。

本项目研究了关于多类Lienard系统的定性分析结果、Hilbert第16问题、在Poincare圆盘内的全局相图和相应的分岔图。主要在如下四方面取得了系列研究成果，发表SCI类学术论文20余篇，其中大多数发表在国际重要学术期刊上，解决了一些公开问题或猜测，取得了一些有趣的研究成果，主要成果如下： 1.证明了Artés–Llibre–Valls 研究Higgins–Selkov系统和 Selkov系统时提出的关于极限环存在性和唯一性的两个猜想；减弱了张芷芬的极限环唯一性条件，并以此结论得到不定次的Higgins–Selkov系统的极限环唯一性。2. 解决了关于三次Lienard系统在仅剩下的一个奇点情形二重环分岔曲面的Khibnik-Krauskopf-Rousseau猜想。3.给出了Lienard系统极限环的不存在性、唯一性、唯二性以及振幅等一些新判据。4. 证明了具有两条平行切换线的连续分段线性系统的极限环的Llibre-Ponce-Valls猜想和Euzébio–Pazim–Ponce猜想。