分数阶Klein-Gordon问题和相关变分法的研究

This proposal intends to study the problems about Klein-Gordon fields in quantum field theory. We mainly consider Klein-Gordon-Maxwell systems, including fractional cases and critical cases. The fractional cases in our proposal is the fractional Laplacian acting on the spatial variables...We intend to find new nonlinear analysis methods and techniques related to partial differential equations to solve the Klein-Gordon problems including fractional cases. The purpose of the proposal is establishing the existence, uniqueness, multiplicity and correlation properties of solutions to the Klein-Gordon problems, including solitary wave solutions, standing wave solutions and ground state solutions. Among the tools involved, we mention (nonlocal) concentration compactness principle, minimax priciple, index theory and methods related to partial differential equation etc.

本项目拟研究量子场论中有关Klein-Gordon场的问题，主要考虑Klein-Gordon-Maxwell方程组，包括分数阶情形和临界情形。本项目中的分数阶指的是作用在空间变量上的分数阶Laplacian。..我们拟寻找新的非线性分析方法和偏微分方程有关技巧，使之适用于解决分数阶情形的Klein-Gordon问题，建立Klein-Gordon相关问题解的存在性、惟一性、多重性和相关性态，包括孤立波解、驻波解、基态解等。非局部集中紧方法、极大极小原理、指标理论以及偏微分方程相关方法等将会被涉及到。

本项目作为天元合作基金项目，基本上按照研究计划开展，与合作方辽宁师范大学郭振宇教授合作，我们就非线性分析中就Klein-Gordon场的相关问题展开了研究，部分研究成果已经完成，并已经投稿审理中。同时，在该基金的资助下，我们也对于带有深井位势的薛定谔方程规范化多包解，Dirca方程非相对论极限问题展开了研究。这两个结果已经发表。通过本项目的合作研究，加强了辽宁师范大学非线性分析团队与北师大非线性分析团队的合作和交流，同时也对于非线性分析中相关问题，特别是带有分数阶laplace算子的Klein-Gordon场的相关问题的研究取得了一些重要的研究成果。