通用网格模型的可微分隐式等距曲面快速造型技术及其应用

等距曲面广泛使用于设计与制造各个应用领域，而网格表示是这些领域中最简单且通用的模型表示方式。经典的生成等距曲面的方法难以应用于通用网格模型。我们在文献[1]中提出了一个通用网格模型的等距曲面快速造型方法。然而，这个方法无法构造具有高阶连续性的等距曲面，且抽取出的等距曲面无法保证拓扑结构的正确性。在本项目中，我们提出可行的方案解决上述问题。首先，使用卷积曲面定义通用网格模型的等距曲面，使其具有高阶连续性，同时通过面积分或线积分方法推导出卷积曲面的解析函数表达式。通过研究卷积距离场值的分布，推导出欧式距离与代数距离的一个映射关系，并对逼近等距曲面的卷积曲面进行误差分析。然后，设计基于自适应划分网格的等距曲面抽取方法，保证抽取出的曲面网格拓扑结构正确。基于所定义的等距曲面，设计自适应刀具路径生成算法和模型可制造性分析方法，有助于可微分等距曲面应用于实际生产。最后，并行化等距曲面造型相关算法。

在CAD/CAM (Computer aided design/manufacture,计算机辅助设计/制造)领域中，CNC (Computer numerical control/计算机数字控制)加工是一种常用的机械加工方式。在对一些具有复杂形状的模型进行加工的过程中，等距面构造操作是生成刀具路径的一个非常有效的方法。通常在CAD/CAM 环境中，模型表示采用参数形式。然而，随着三维扫描技术的发展，网格表示是最简单且最通用的模型表示方式。在众多商业CAD 软件和图形系统中，都支持这种模型表示方式。不同的CAD 模型表示可以很容易转化成网格表示。因此，稳定而快速的生成网格模型的等距曲面对CAD/CAM 的应用非常有必要。另外，在获得模型的网格表示过程中，通常三维扫描获取的数据具有很多缺陷，如离群点、噪声、信息缺失等。为了得到模型的较好网格曲面表示，需要对原始的点云数据进行优化，然后对点云数据进行快速曲面重构。.在本项目的执行过程中，我们对如下内容展开研究并获得了相应的研究成果：(1)通用网格模型具有高阶连续性的等距曲面构造技术。我们推导出具有C2连续的基于卷积曲面定义的等距曲面解析表示及其切矢和曲率的解析计算公式、偏移距离与代数距离的映射关系、近似等距曲面的误差界，实现了距离查询算法及其并行化算法，快速曲面网格抽取，基于等距曲面的自适应刀具路径生成。(2)点云数据优化。我们提出了一个基于迭代的下采样-上采样技术实现了点云数据去噪、缺失数据补全，解决了现有方法难以解决问题。基于多面体近似凸包分解算法，我们实现了点云模型的近似凸包分解，用于完善具有信息缺失点云数据。(3)大规模三维点云数据快速曲面重构。基于径向基函数曲面重构方法，为了避免该方法的求解线性方程组的瓶颈，我们采用拟插值的思想，获得径向基函数系数的近似表示，从而实现快速稳定的曲面重构。我们分别提出了多层拟插值曲面重构，基于法向量约束的拟插值曲面重构，基于逐层求精的Hermite插值或逼近和基于函数泰勒展开的高精度Hermite数据拟合等方法。(4)保形曲线曲面构造。在曲面重构的过程中，由于数据的分布造成过拟合或欠拟合，或者不能保持曲面的形状特征，导致无法获得满足要求的曲面。我们设计恰当的带形状参数的基函数，在保形约束下，计算出形状参数的取值范围，从而实现在该取值范围内选取参数值，能构造出保正或保单调的曲面。