一维多体局域化系统的理论和数值研究

Many-body localization (MBL) is a focus of current research on condensed matter physics due to its fundamental physical importance and potential application value. This project aims to study MBL both theoretically and numerically, which is divided into three parts. The first part introduces the method of flow equation renormalization to study MBL phase and phase transition. This method has solid analytical foundation, and will not eliminate any degrees of freedom, hence being particularly suitable for MBL study and promising to provide good results. The second part employs the state-of-art machine learning algorithm to study MBL phase transition. The non-linear neural network based machine learning algorithm has been proved to be reliable in detecting phase transitions, we further use it to pursuit the unknown details of MBL transition such as mobility edge and critical exponent, hence making it a self-contained new tool to study dynamical phase transition. These two parts of this project will provide powerful new tools to study MBL and more general quantum dynamical systems, and clarify some unclear physical problems at the same time. The third part focus on the combination of MBL and topological phase of matter. In a novel MBL system, interaction may induce non-trivial topological order, while localization can prevent the system from being heated, thus protecting the topological order, which is valuable for experimental realization of topological matter. By studying a concrete one-dimensional spin model, we will quantitatively uncover this protecting mechanism, and provide theoretical foundations for generalizations and experimental realizations.

多体局域化(简称MBL)以其丰富的物理内涵和应用潜力引发众多关注，本项目拟从三方面对其展开研究。第一部分将流方程重整化方法引入MBL及其相变的研究，该方法有严格的解析基础，且不会降低自由度数，因而对研究MBL等动力学相变有天然优势，且有望得到较好的结果。第二部分用机器学习算法研究MBL相变，证明神经网络不仅可以识别已知的相变点，更可以学习到尚不明确的多体迁移率边、临界指数等相变细节，从而使该算法成为一套完备的研究相变的新方法，并告诉我们未知的新物理。这两部分工作将为本领域研究提供有力的新工具，并厘清尚存争议的若干问题。第三部分研究MBL与拓扑物态的结合。在MBL相中相互作用可以诱导产生丰富的拓扑序，而局域化则可以防止体系被加热、从而保护拓扑序，这对实验实现稳定可操控的拓扑物态有重要意义。本部分将以一维自旋模型为例，定量研究这种“保护”的机制，为在更多拓扑态中的推广和实验实现提供理论基础。

孤立量子系统中的多体局域化(MBL)现象是当前凝聚态物理的一个热点，针对该领域面临的关键问题，本项目以无序自旋链为典型物理模型、从多方面进行了广泛系统的研究，得到了一系列有意义的创新成果，主要分为以下四个方面。.1、经过一步步循序渐进地探索，我们成功建立了能在全相图上描述热-MBL相变的有效随机矩阵模型，即所谓PRBM系综。我们证明了PRBM不仅可以完整地描述全相图上的能级演化、也可以描述本征态的演化，计算所得的临界指数也与物理系统接近，并且该模型仅包含一个参数，可以与物理系统中的无序强度一一对应，因而是一个非常理想的有效模型。.2、我们通过大规模的数值模拟，证明了一类被称为短程等离子体模型(SRPM)的随机矩阵模型可以高精度地描述热-MBL相变点处的临界能级分布，为理解MBL相变的普适类、并进而理解一般的非平衡动力学相变迈出了坚实的一步。.3、针对描述MBL相变的基本数学工具—随机矩阵理论，我们也做了数学上的理论研究。我们利用推广的Wigner假设，解析推导了一大类随机矩阵系综能谱中的高阶能隙分布的严格表达式，相比人们熟知的最低阶能隙分布，高阶分布可以描述更长程的能级关联。我们进一步发现高阶能隙分布函数实际上反映了能谱本身的概率分布特征，并可以通过所谓“约化本征能谱”优美地表达出来。这些工作为该领域已存在的众多数值工作提供了严格的理论基础。.4、我们探索了研究MBL及更一般的动力学系统的新算法。首先是机器学习算法，我们利用卷积神经网络来学习MBL相变，并通过分析网络结构证明了机器学到的物理量正是能隙分布，从而揭开了深度学习“黑箱子”的工作原理，为该领域研究提供了思路上的指导。另一方面，我们发现将无序系统的本征能谱视为时间序列，并利用时间序列分析的手段可以简洁地获取Thouless能量的信息，且该算法相比传统算法有明显的优势。这为本领域的研究提供了全新的视角，且可以方便地推广到更多系统中。.总结来说，本项目在MBL相关领域做出了多方面的创新贡献，圆满完整了项目的计划目标。