自仿Tile与频域极小紧支小波框架构造及应用

The self-affine tiles as attractor of iterated function system (IFS) are a class of fractal sets focused on in fractal geometry, and the particular structures and self-similarity of tiles are closely associated with the construction of wavelet bases. In this project our aim is to construct a class of minimally supported frequency (MSF) wavelet frames using the characters of tiles. The project focuses on the three primary coverages: (1) We use the set valued equation to explore the relationship between expansive matrices, digit sets and tiles, and respectively research the geometric features of wavelet Riesz sets and wavelet frame sets according to Riesz bases and the conditions of frames; (2) We will get the concrete plans on constructing wavelet sets, wavelet Riesz sets and wavelet frame sets with given expansive matrix; (3) By using the mathematical experiment, we study the application and performance evalution of minimally supported frequency wavelet frames in digit image processing, where the wavelet bases are constructed by wavelet sets. Especially for different application objects obtained by experimental data, we can obtain the corresponding optimal wavelet frames. This project will enrich and extend classical wavelet MRA theory; and the research is one of the hot topics which link fractal geometry with wavelet analysis.

自仿Tile作为迭代函数系（IFS）的吸引子是分形几何重点研究的一类分形集，Tile的特殊几何结构和自相似性与小波基的构造具有紧密联系。本项目利用分形集Tile的特点来构造一类频域极小紧支（MSF)小波框架。具体研究内容: (1) 利用集值方程系统研究扩张矩阵、数字集与Tile之间性质关联数学模型，根据Riesz基、框架条件分别研究小波Riesz集、小波框架集几何特征；（2）对给定的扩张矩阵，研究小波集、小波Riesz集、小波框架集构造具体方案；（3）利用数学实验，研究MSF小波框架在数字图像处理中的应用及性能评价，面对具体的应用对象，利用实验数据分析结果，构造相应的最优小波框架。本课题研究将丰富和拓广经典小波框架多分辨分析构造理论，是分形几何和小波分析相结合研究热点之一。

Dai, Larson和Speegle在1997年证明了对于任意扩张矩阵存在小波集(具有特殊性质的自仿Tile),这一结果引起了分形几何和小波分析理论及应用研究者广泛兴趣。使得利用自仿Tile自相似性来构造小波基和小波框架成为分形几何和小波分析相结合研究主要热点之一。. 本项目主要是根据Lau Ka-Sing、Rao Hui、Wang Yang等对自仿Tile研究的深刻结果，利用自仿Tile的自相似性的特征来构造一类频域极小紧支小波框架，并利用实验数据来分析小波框架应用性能。. 在项目研究中,我们得到了小波集、小波框架集几何特征刻划。在一维小波集构造中，引进了MSF多角形概念，利用MSF多角形斜率性质给出了任意非负整数扩张系数的MSF小波集构造几何方法,此结果推广了Nicola Arcozzi等构造MSF小波方法。对于任意扩张系数，我们引进MSF多角形和对偶MSF多角形概念并得到了扩充因子为负整数小波集几何性质与构造方案，由此得到了由有限多个区间的并成为小波集的条件和判别方法。在探索扩张矩阵、数字集与Tile性质关联数学模型中，我们提出了与Schrodinger算子在Riesz变换中相关联一类多线性算子，并系统地研究了其基本性质，如多线性算子有界性与其平均振幅等性质。关于三元素的数字集, 我们系统地研究了对应Moran测度下谱的性质，着重给出了一些条件确保存在离散数字集使得指数函数系成为Moran测度下的正交基，这些成果为探索自仿Tile与扩张矩阵和数字集之间关联性质模型奠定基础。. 项目的研究内容属于分形几何和小波分析相结合的前沿领域，是小波框架构造有别于MRA的重要方法，项目的研究有助于促进分形几何与小波分析相互渗透发展。