Saint-Venant方程及Korteweg-de Vries方程中的控制问题

Control problems for partial differential equations are very popular due to its widely applications in physics, mechanics and hydraulic system. There are already many classical results for theoretically study of control problems related to partial differential equations. However, it is still a challenge to apply these results to reality due to the complexity and variety of the real world. On the other hand, it would be very helpful if we could study the models thoroughly and provide essential results through the phenomena. . In the case where we ignore the influences of the friction and slope, the results concerning the stabilization of Saint-Venant equation is relatively complete. However, usually, these two factors can not be ignored in reality. We take these two factors into consideration and mainly study the sabilization of Saint-Venant equation with nonlinear source term.. For Korteweg-de Vries equations, we study the corresponding controllability and stabilization problems with less controls. When using less controls, the study of controllability and stabilization has great relationship with the length of the channel. We will mainly consider the open problem in the case where the length belongs to the critical set in this proposal.

偏微分方程的控制问题在物理、力学以及水利工程等方面具有很强的应用背景，属于近代应用数学研究中一个十分活跃的前沿研究方向。关于偏微分方程控制问题的理论研究，虽已有很多结果，但由于实际问题的复杂性和多样性，相应的研究往往有较大的难度，在数学上是一个挑战，而另一方面，结合实际模型进行深入透彻的研究，可望更好地解释现象的本质，得到深入的结果。.当不考虑渠道的摩擦影响且假设渠道底部是平面时，Saint-Venant方程的稳定性已有相对完整的结果，但现实中，渠道的摩擦影响是不能忽略的，且渠道底部一般都有坡度，本课题拟研究将这两个因素加入后带有非线性源项的Saint-Venant方程的稳定性。. 对Korteweg-de Vries方程，拟研究较少控制下的能控性及稳定性问题。此时，能控性及稳定性问题的研究与水渠的长度紧密相关，本课题将重点研究水渠长度属于临界集合的这一尚未解决的困难情形。

本项目主要研究与Saint-Venant(SV)方程组及Korteweg-de Vries(KdV)方程相关的控制问题。对于带源项的SV方程组的稳定性问题，由于源项的存在使得线性化系统的系数与空间变量有关。我们解决的关键问题是证明了一个与权函数本质相关的常微分方程解的存在性，利用此解构造出有效的Lyapunov 函数，揭示了线性化系统能量衰减的本质特征，进一步分析得到了非线性系统H2范数意义下的局部指数渐近稳定性。我们又将以上研究方法与结果进一步推广到一般的density-velocity方程组的边界稳定性研究中，这是一类典型的2x2拟线性双曲组，从实际问题出发，此类系统几乎包含了所有可由质量守恒定律及动量守恒定律导出的方程组，因此该结果具有重要的科学意义。注意到在以上的工作中，由于我们构造的边界反馈控制具有耗散性，因此只要初值在平衡态附近且有较好的光滑性，便不会有激波的产生。此外，我们还研究了SV方程组具有激波解的边界镇定性。我们首先从一类典型的模拟激波传播过程的Burgers方程出发，构造了一个初值具有一个激波的模型，对相应的激波形式的平衡态，利用激波位置作为移动坐标，采用变量代换的办法将一个Burgers方程变成定义在激波两侧的2x2非线性双曲组来考虑。基于以上对Burgers方程的研究方法与结果，我们又对更复杂的带有激波解的SV方程组的稳定性进行研究得到了快速稳定性结果。对于临界区间KdV方程的稳定性问题，我们采用中心流形定理进行研究。在研究的过程中我们发现相应的线性算子生成的算子半群并不是解析的，我们进一步对线性算子的谱进行分析并给出了预解式的估计，证明了线性算子具有Gevrey类的光滑性。此外，我们还对一类系数不仅依赖于空间而且依赖于时间的一维带源项的线性双曲方程组在有限时间内的边界稳定性进行了研究。利用backstepping方法先引入第二类Volterra变换，再利用Fredholm积分变换化成最终的目标系统，问题处理的关键点在于在两类变换中，根据系数依赖于时间的特点，变换也相应地要求与时间相关。通过证明变换中核函数的存在性，再由目标系统有限时间的稳定性及变换的可逆性便得到了原系统有限时间的稳定性。