非线性双曲系统的控制与优化

Nonlinear hyperbolic equations are very popular due to its widely applications in physics, biology, mechanics and industry. The associated analysis and control problems are activated by practical requirements. There are already many classical results for general nonlinear hyperbolic equations. However, due to the complexity and variety in reality, it is a challenge to study theoretically the well-posedness, control and optimization problems for such equations. It would be very helpful if we could provide theoretical results and apply these results to reality. This proposal is mainly concerned with three new models arised from reality. We are mainly interested in related control and optimization problems.

非线性双曲系统具有很强的应用背景，可广泛应用于物理、生物、力学以及工业生产。由此类系统支配的实际问题的分析与控制属于近代数学研究中一个十分活跃的前沿研究方向。关于非线性双曲系统的理论研究，虽已有很多结果，但由于实际问题的复杂性和多样性，研究相应的模型在理论上往往有较大的难度，在数学上是一个挑战，但如果能结合实际对模型进行深入透彻的研究，便可以更好地解释现象的本质，为实际问题提供理论依据。本课题主要研究非线性双曲系统在三个具有很强实际背景的新模型中的应用，研究其与实际问题紧密相关的控制以及优化问题。

非线性双曲系统具有很强的应用背景，可广泛应用于物理、生物、力学以及工业生产。关于非线性双曲系统的理论研究，虽已有很多结果，但由于实际问题的复杂性和多样性，研究相应的模型在理论上往往有较大的难度，在数学上也是一个挑战。本课题主要研究非线性双曲系统在三个具有很强实际背景的新模型中的应用，研究其与实际问题紧密相关的控制以及优化问题。.在研究卵泡生长发育模型的过程中，由于无限维情形的混合最优控制问题研究起来比较困难，我们首先从有限维情形出发，研究了一个朊病毒的分裂生长模型。相关的控制问题是找到最优控制使得朊病毒的数量指标在给定时间达到最大，我们发现此时最优控制有奇性， 通过进一步分析，得到了最优bang-singular-bang控制结果，并对二维情形，解析地计算出了最优控制函数。.挤压机是一个桶状物，外壁有加热装置，内部含一个螺旋桨。在输入口输入原材料，通过螺旋桨的旋转来挤压并输出成品。我们研究的模型，是定义在两个区域（原材料部分填充区域及原材料完全填充区域）上通过移动边界耦合起来的传输方程，我们研究这个模型的适定性、节点能控性以及稳定性问题。我们用变量代换的方法将移动边界问题转化为固定边界问题，再选取合适的解空间，利用经典的特征线法证明了解的存在唯一性，在此基础上得到与实际问题相关的节点状态能控性结果，同时通过对输出端的压力差进行测量，通过选取合适的反馈控制，证明了解在平衡态的稳定性。.KdV方程最早是用来描述河渠中水波的传播过程，但现实中水渠总是有长度的，当水渠长度属于某种临界集合时，线性化系统不是指数渐近稳定的，从而无法得到非线性系统相应的稳定性结果，我们首次利用中心流形的方法证明当KdV方程空间变量的长度是第一类临界值时解在零点的局部渐近稳定性，克服了此种情况线性化方法无法解决的难题，这也是一直以来KdV方程能控性及稳定性问题研究的瓶颈。同时，我们发现可以将此方法应用到第二类临界长度，并对其中一种特殊情况得到了相应的局部渐近稳定性结果。