空间弯曲背景上的圈量子宇宙学微扰论研究

It is known from the research of cosmological inflation that the scale factor becomes extremely small before the inflation, thus the spatial curvature term may play an important role in the cosmological evolution if the background space is not flat. Due to the very large spacetime curvature, the study of pre-inflationary universe requires the knowledge of quantum gravity theory. When we investigate the observable quantum gravity effect of the very early universe, one of the reliable tools we have is the loop quantum cosmological perturbation theory. In this project, by using the “anomaly free algebra” approach and considering the holonomy correction and inverse-volume correction in loop quantum cosmology, we aim to construct a consistent algebra on the background of spatially homogeneous and isotropic closed universe (k=1) and open universe (k=-1) and obtain the equations of motion for gauge invariant perturbed observables, meanwhile, we can extend the results obtained in curved space to the flat space in suitable limit and discuss the difference between it and the existing perturbation theory in flat space. Moreover, we will investigate the influence of spatial curvature on the evolution of observable quantities in concrete models. This project is of significance to the study of the quantum gravity effect caused by the spatial curvature. At the same time it broadens the application of loop quantum cosmology and can help to solve some problems which have been bothering the loop quantum cosmological perturbation theory in the spatially flat case.

由宇宙学暴胀理论的研究可知，尺度因子在暴胀发生前变得极小，如果背景空间非平直，则此时空间曲率项对宇宙演化可能起到了重要作用。由于曲率极大、能量密度极高，研究暴胀发生前的宇宙演化需要用到量子引力理论。在寻找暴胀前宇宙演化留下的可观测量子引力效应时，圈量子宇宙学微扰论是比较可靠的理论工具之一。在本项目中，我们采用“无反常约束代数”方法，分别考虑圈量子宇宙学中的和乐修正和逆体元修正，试图在空间均匀且各向同性的闭合宇宙(k=1)以及开放宇宙(k=-1)背景上分别建立自洽的约束代数，获得各规范不变微扰量的运动方程，并在一定极限下将上述结果延拓到平直背景，探讨与平直背景上现有结果的差异。此外，我们将在具体模型中探讨曲率项对微扰量演化的影响。本项目对探索曲率项的可观测量子引力效应有一定意义，同时拓展了圈量子宇宙学的应用范围，并且有希望从一个新的角度缓解困扰平直空间圈量子宇宙学微扰论的一些问题。

圈量子引力是量子引力理论的主流模型之一，而圈量子宇宙学微扰论是研究圈量子引力的可观测效应的重要途径。本项目主要在非最小耦合情形下研究了弯曲宇宙空间背景上的圈量子宇宙学微扰论。项目的研究内容主要分为三部分：1.探讨在非最小耦合框架下的圈量子宇宙学哈密顿量的量子化方案以及对应的有效动力学；2.利用研究内容1中提出的量子化方案下研究在非最小耦合框架下的圈量子宇宙学微扰论；3.在研究内容2的基础上，在圈量子宇宙学微扰哈密顿量中引入空间曲率项，讨论空间曲率项对微扰量演化的影响。通过本项目研究，我们发现在不同的量子化方案下，非最小耦合情形的引力理论动力学均分为两个分支，其中一个分支的方程在低能极限下能回到经典理论，而另外一个分支的方程在低能极限下无法回到经典理论，这与最小耦合情形截然不同。然后，我们使用“无反常约束代数”方法计算了包含微扰量的约束代数，我们发现，在满足特定条件下，可以得到闭合的约束代数，在考虑空间曲率项后，闭合约束代数依然成立。利用无反常的微扰哈密顿量我们得出了规范不变微扰量的运动方程。这样就得到了一个在弯曲空间背景上的自洽的微扰理论。最后，通过在一定的初始条件下利用数值方法求解背景变量和微扰量运动方程，我们在具体模型中探讨了空间曲率项对微扰量演化的影响。