基于Julia集的复动力系统分形刻画及其绘制算法研究

Complex dynamical systems are the important research field of dynamical systems and Julia sets have been the research focus in this field. Our project plans to study on the fractal characteristics of Julia sets and Mandelbrot sets, the parameter sets of Julia sets, utilizing the algebraic analytical methods and computer rendering algorithms. The specific research contents include the following: the dynamical behaviors of complex dynamical systems will be examined by studying the Julia sets under time-delay or noise-perturbation models; the center positions of stable periodic domains, the distribution of periodic orbits and the detailed properties of the convergence for periodic orbits will be explored; the distribution of the attached petals of the fractal sets, the calculation of stable periodic domains, the location of periodic points and quasi-periodic points and other issues will be discussed; the topological changes and the topological evolutions of the Julia sets will be summarized and then the overall mechanisms and the evolution rule of the complex dynamical systems will be obtained. Ultimately, the project will establish a set of comprehensive programs from theoretical analysis methods to computer simulation algorithms to study the complex dynamical systems.

复动力系统是动力系统研究的重要领域，Julia集作为其主要描述对象一直是该领域研究的热点。本项目通过代数理论分析方法和计算机绘制算法，以Julia集为主要研究内容，对Julia集及其参数集Mandelbrot集的分形特性进行深入的分析。具体研究内容包括：通过研究具有时间迟滞特性的Julia集以及噪声扰动Julia集等模型考查复动力系统的动力学行为；研究稳定周期域中心点位置、周期轨道的分布特点以及周期轨道收敛的细节特性；研究分形集芽孢分布规律、稳定周期域计算、周期点与准周期点位置等问题；总结Julia集的拓扑变化及其拓扑演变规律，进而得到对复动力系统的全面分形刻画和动力学演变规律。最终，本项目将建立一套完整的从理论分析到计算机实验仿真的复动力系统研究方法。

复动力系统是动力系统研究的重要领域，Julia集作为其主要描述对象一直是该领域研究的热点。课题组对McMullen函数族映射Julia集的性质进行了分析。重点研究了连通状态下的McMullen映射的填充Julia集。使用不同颜色区分Julia集的不同区域，精细的刻画了Julia集的内部结构，计算出Julia集中共形同胚于二次方映射Julia集的最大稳定区域的几何对称中心点。且证明了其中心点的分布只由m和d决定，不受c值的影响。对McMullen有理函数族映射Mandelbrot集进行了研究。针对McMullen有理函数族映射Mandelbrot集的N周期稳定区域问题，得出了N(N>1)周期稳定区域数量的和一周期稳定中心点、稳定区域边界的计算方法。同时研究了自由临界点的问题，通过实验验证了当m=d时，自由临界点不影响周期稳定区域分布的结论，且重点分析了当m与d不相等时，自由临界点对一周期稳定区域分布的影响，并找到其分布规律。考查Julia集具有典型的自相似性和对称性，从群论的角度分析了Julia集的结构特点。提出填充Julia集的群体是一个对称群，并对二次方映射填充Julia集内部周期点的群特性进行了研究。研究表明，二次方映射填充Julia集的周期点为N*(N*>1)阶循环群。当N*为素数时，填充Julia集周期点只构成一种循环分布结构。当N*为合数时，填充Julia集的周期数等于存在周期点的花瓣循环体的数量乘以每个花瓣循环体内部的花瓣数量。课题组对存在周期点的花瓣循环体的数量和分布进行了理论分析和实验验证，使得对Julia集周期域分布的刻画更为精准。本项目的研究不仅是对复动力系统的有益探索，也启发了课题组从动力系统的角度考查和探索目前流行的深度神经网络。课题组后续将以本项目的动力学和群理论研究为基础，对深度神经网络模型的动力学特征开展深入研究。