Julia集的分形性质与牛顿映照若干问题的研究

The aim of this study is to investigate fractal properties of the Julia sets and dynamical properties of Newton maps. The main contents are as follows: 1.We investigate the differences of dynamical properties of rational functions in parameter space. 2. We discuss continuity of Haudorff dimension of the Julia sets in parameter space concerning a family of rational functions and the speed of convergence of Hausdorff dimension at parameter parameter point. Furthermore, when the degree of rational functions is degenerated at some parameter point, we try to discribe the conditions and properties such that its Julia set and Hausdorff dimension depend contionous the parameter. 3. We discuss the topological properties of the boundries about Newton map and the local connectness of its Julia set. 4. We try to construct a rational function with given degree, such that the finite connectivity of its some Fatou component may be sufficiengly large and discuss its dynamical properties.

本项目的研究对象是Julia集的分形性质与Newton映照的动力学性质。具体包括： 1.研究有理函数在参数空间上动力学性质的差异性。 2.探讨有理函数族Julia集的Hausdorff维数关于参数的连续性问题及其在抛物参数点处的收敛速度，特别地，我们将尝试刻画有理函数族退化时，其Julia集及其Hausdorff维数在参数点处连续的条件与性质。 3.探讨Newton映照Julia集边界的拓扑性质及其局部连通性。 4.尝试构造具有给定度的有理函数，其某个Fatou分支的（有限）连通数可以大于具有任意给定的正整数，并讨论其动力学性质。

复动力系统研究复解析自映射迭代形成的动力系统，主要包括多项式、有理函数以及整函数的动力系统。本项目中，我们主要研究了：.1. 涉及重整化变换后带有两个参数的2n次有理函数的动力学性质以及在参数空间上的几何拓扑性质。对于这族有理函数，首先，我们探讨了其参数空间上实的Misiurewicz点的分布情况，探讨了其Julia集的Hausdorff维数关于实参数的连续依赖性问题，给出了其Julia集的Hausdorff维数关于参数的解析表达式，特别地，由于其Julia集与正实轴的交点具有明确的物理意义，我们对此给出了详细的刻画。其次， 我们证明了存在一些参数点，其对应的Julia集包含一个淹没的开区间。 从而回答了Curry与Mayer提出的是否有其它淹没点类型的存在性问题。.2. 牛顿映照Julia集的几何拓扑性质。首先，我们获得多项式在Konig法生成的Julia集为一条直线的充要条件。其次，我们给出了多项式松弛Newton迭代映照与Steffensen方法下吸性循环域的构造方法。.3. 有理函数Fatou分支连通数的问题。我们研究了一族有理函数的Fatou分支的连通数，并且提出了如下问题：对于degree给定的有理函数，对任意大的自然数n，是否存在这个有理函数的某个Fatou分支的连通数恰好为大于或等于n？这个问题在2017年已被Jordi Canelas 解决。.4. 我们开展了亚纯函数值分布理论与代数体函数的若干研究，获得了很多有意义的成果。