长记忆重尾数据的若干极限定理及其应用研究

By avoiding taking the traditional martingale embedding method and applying the m-dependent approximation method, this project first aims to establish some limit theorems (such as strong approximation theorem) for long memory and heavy-tailed random variables, with weaker moment conditions. Then, our attention is paid to the functionals of long memory sequences (including L-statistics and U-statistics)， the spatial long memory random data (i.e. long memory random fields) and the long memory data taking values in the infinite spaces, by studying their limit theorems with possibly infinite second moment, respectively. In a word, this project reduces the conditions of some classical limit theorems of long memory random variables, and has an important theoretical meaning. As applications of the limit theorems, this project aims to investigate the statistical inferences for the (spatial) autoregressive models with long memory and heavy-tailed innovations， as well as the (spatial) nonparametric models with long memory and heavy-tailed errors, and the change-of-mean test for the long memory and heavy-tailed sequences.

本项目首先以长记忆重尾时间序列数据为研究对象，避开传统的鞅嵌入等方法，采用m-相依逼近等方法，在较弱的矩条件下，研究包括强逼近定理在内的若干极限定理；接着，对长记忆变量的泛函（包括L-统计量和U-统计量等）、长记忆空间数据(或称长记忆随机场)以及无限维空间中的长记忆数据，在其二阶矩可能不存在的条件下，分别研究各自的极限定理。通过这些研究，降低了长记忆随机变量序列的经典极限定理成立的矩条件，具有深刻的理论意义。 作为应用，本项目着重研究长记忆重尾数据作为随机扰动(误差)项时，(空间)自回归模型和(空间)非参数模型中的一些统计推断问题，以及长记忆重尾序列中的均值变点检测等问题。

本项目对实（Banach）空间中的长记忆或重尾数据，在较弱的矩条件下，建立了包括强逼近定理和重对数律在内的若干极限定理。作为应用，对重尾自回归时间序列模型和重尾风险模型，进行了一系列的统计推断和渐近估计研究。. 在本项目中，我们完成了一系列的论文，其中发表论文12篇，还有若干论文在投。我们主要在下列的研究方向上取得了一些成果：(1)实空间中长记忆与短记忆线性过程和的广义强逼近定理，独立重尾数据的自正则化几何加权级数的重对数律以及基于相依重尾数据的统计量的重对数律；（2）Banach空间中修整和的重对数极限值；（3）重尾自回归模型（包括随机系数和近非平稳AR(1)模型）的统计推断问题；(4)重尾风险模型（包括时依风险模型、带副索赔风险模型和Levy过程驱动风险模型）中的渐近估计问题。