不可压缩磁流体力学方程的一些数学问题

Magnetohydrodynamics is the study of the dynamics of electrically conducting fluids. The equations which describe MHD are a combination of Navier-Stokes equations and Maxwell's equations. The theory of MHD was found applications in many different fields such as astrophysics, liquid-metal cooling of nuclear reactors and MHD power generation. We plan to employ various mathematical tools including energy method, Littlewood-Paley decomposition and blow-up method. This proposal is devoted to the study of the following topics: (1)blow-up rates of local smooth solutions in different function space including Sobolev space, Lebesgue space and Besov space ; (2)asymptotic stability of large solutions with large perturbation. Our research results can enrich will mathematical theory of MHD equations, as well as provide rigorous theory for the application of MHD in practice.

磁流体力学是研究导电流体和磁场相互作用的物理学分支，其基本方程由Navier-Stokes方程和Maxwell方程耦合而成。近些年里，磁流体力学得到了快速发展，在天体物理、受控热核反应和磁流体发电等领域中得到了广泛应用。本项目以磁流体力学方程为研究对象，拟利用能量估计、Littlewood-Paley分解和Blow-up方法等工具，具体研究以下内容：（1）解在Sobolev空间、Lebesgue空间、Besov空间等函数空间中的爆破速率估计；（2）大解在Sobolev空间、Lebesgue空间中对于大扰动的渐近稳定性。本项目对流体速度场和磁场在爆破点性质的分析和对大解的大时间性态的研究能够丰富磁流体力学的数学理论，为磁流体力学的应用提供理论基础。

本项目主要研究磁流体动力学（MHD）方程解的爆破和正则性等性质。此外，本项目也研究了密切相关的Boussinesq方程和Naiver-Stokes方程等流体动力学方程的数学理论。得到了以下研究成果：（1）MHD方程的一类局部正则性准则，只需要速度场和磁场的scaled局部能量有界且速度场的两个分量scaled局部能量满足小性条件。（2）MHD方程在临界Besov空间中的正则性准则，只需要速度场和磁场在一类广泛的临界空间中，而速度场的两个分量在临界Besov空间中。（3）二维无粘Boussinesq方程在有界区域中的关于粗糙初值的整体适定性。(4)二维无浮力效应Boussinesq方程在有界区域中关于粗糙初值的整体适定性。(5)二维分数次次临界Boussinesq方程当耗散指标需要满足一定的匹配条件时的整体适定性。(6)三维不可压缩 Naiver-Stokes方程的一类局部正则形准则，该准则依赖于压力单个scale的速度场和压力。作为应用，估计了奇异点的Minkowski维数。