具有内在自由度的不可压缩流体的数学理论

Rencently, granular media has been tensively studied by both mathematicians and physicists. This project is concering about a system of partial differential equations which models an incompressible Newtonian fluid with intrisic degree of freedom. This model is set up to descripe the motion of granular media. In this project, we will study well-posedness of this model, such as: existence and uniqueness of solutions in Besov space, regularity criterion of weak solutions, existence of self-similar solutions.

近些年里，颗粒物质在数学界和物理界都是研究的热点，它性质独特，在日常生活及工业生产中具有重要的应用。本项目研究具有内在自由度的不可压缩流体的一个偏微分方程模型，它从流体动力学的角度刻画了颗粒物质的运动规律进行。本项目将利用能量估计及调和分析等数学方法，从偏微分方程理论的角度系统深入地研究上述模型，具体内容如下：Besov空间中解的存在性和唯一性，弱解的正则性准则和唯一性准则，自相似解的存在性。

本项目研究具有内在自由度的不可压缩流体的解的适定性。我们证明了对于任意初值光滑解的局部存在性，对于初值只要求具有任意正的分数阶导数。进一步的，如果初值的能量模充分小，我们证明了光滑解的整体存在性。另外，我们证明了强弱解的唯一性，即初始值相同则强解和弱解相等。本项目的研究成果丰富了具有内在自由度的不可压缩流体的数学理论，具有一定的理论价值。