不可压缩磁流体力学方程和磁微极流体方程的适定性和不适定性问题

Magnetohydrodynamic (MHD) equations and magneto-micropolar fluid (MMPF) system, describing the interaction between electrically conducting fluids and electromagnetic fields, have broad and important application in astrophysics, geophysics, biology, medical science and so on. This project intends to study MHD equations and MMPF system by taking advantage of Littlewood-Paley theory, harmonic analysis and other tools, and the contents are as follows: (1) the global well-posedness for two dimnsional MMPF system without magnetic diffusion, even with zero angular viscosity for small perturbation near the trivial steady solution; (2) the global well-posedness for two dimensional MMPF system without magnetic diffusion and with zero velocity viscosity for small perturbation near the trivial steady solution; (3) the ill-posedness for two dimensional resistive MHD equations and two dimensional MMPF system with zero velocity viscosity near the trivial steady solution. The research of this project will enrich and perfect the theoretical research and mathematical method of magnetic fluid, and provide theoretical basis for its application.

磁流体力学方程和磁微极流体方程是研究导电流体和电磁场相互作用的偏微分方程，在天体物理、地球物理、生物、医学等领域有着广泛的应用。本项目拟利用 Littlewood-Paley 理论、调和分析等工具来研究磁流体力学方程和磁微极流体方程，具体内容如下：（1）在平凡的稳态解附近做小扰动时，二维零磁场耗散的磁微极流体方程和二维零磁场耗散零角粘度的磁微极流体方程解的整体适定性；（2）在平凡的稳态解附近做小扰动时，二维零速度场零磁场耗散的磁微极流体方程解的整体适定性；（3）在平凡的稳态解附近时，二维电阻磁流体力学方程和二维零速度场耗散的磁微极流体方程解的不适定性。本项目的研究将丰富和完善磁流体的理论研究和数学方法，为其应用提供理论基础。

磁流体方程和磁微极流体方程是流体力学方程中非常重要的偏微分方程，具有显著的物理背景，其解的适定性问题是流体力学方程领域的前沿热点和难点问题，相关的数学理论研究具有极大的挑战性。本项目研究磁流体方程和磁微极流体方程解的适定性问题，深入研究了二维电阻磁流体方程和二维无粘磁微极流体方程在平衡态附近扰动时涡度的增长情形，证明了解的弱不适定性，即零解在L^∞空间是不稳定的，在此空间涡度表现出了非常弱的范数膨胀。这暗示了在更强的Sobolev空间研究小初值解的整体适定性时，保持涡度范数的小性可能是困难的事情。该结果意味着在临界空间中建立涡度的一致先验估计仍然是非常困难的事情。此外，本项目研究复杂流体Oldroyd-B模型，此模型是非牛顿流体方程，具有很强的物理背景，和磁流体方程有着非常相似的结构。在二维、三维情形时建立了Oldroyd-B模型小初值解的整体适定性并研究了粘性消失极限问题，证明了当粘性系数趋于零时，Oldroyd-B模型的解收敛到无粘Oldroyd-B模型的解。本项目对应的研究成果发表在International Mathematics Research Notices、Journal of Differential Equations等国际知名学术期刊上，并在国际上受到相关领域同行的关注和多次引用。目前已经发表5篇学术论文，另有几篇论文正在审稿中。本项目的研究为进一步研究二维磁流体方程解的适定性问题奠定了基础，从而丰富和发展了流体力学方程的数学理论研究。