变指数空间理论及其在不定位势变指数微分包含中的应用

Based on the theory of functional space and combined with the theory of variable.exponent space, methods of nonlinear analysis and nonsmooth analysis, the project is target to study existence of multiple solutions for some differential inclusion problem with variable exponent and indefinite potential. Main contents are:selecting the specific indefinite potential(or sign-changing potential), establishing the corresponding functional space (or subspace of variable exponent space), exploring the possibility of the existence of first eigenvalue for eigenvalue problems with variable exponent and indefinite potential, the simplicity and isolation of the first eigenvalue, as well as other related topics; the existence of nodal solution, and the existence of multiple solutions for the differential inclusion problem with variable exponent and indefinite potential, as well as other related topics. The contents of this project can not only enrich the theory of variable exponent differential equations and the variable exponent space, but also can promote the development of related disciplines, and the project is the cutting-edge research topic of interest and the mainstream.

本项目以泛函空间理论为基础, 结合变指数空间理论、非线性分析和非光滑分析方法,去研究一些不定位势的变指数微分包含的多解存在性问题. 主要内容有: 选取特定的不定位势(或变号位势), 并建立相对应的泛函空间(或变指数空间的子空间), 来探索不定位势的变指数第一特征值存在的可能性, 以及第一特征值为单的、孤立的等相关问题；研究不定位势变指数微分包含问题变号解的存在性以及多个解存在等相关问题. 本项目所研究的内容, 不仅可丰富变指数微分方程和变指数空间自身的理论, 也可能推动相关学科的发展, 是国际上十分重视、具有前沿性和主流兴趣的研究课题.

本项目以泛函空间理论为基础, 结合变指数空间理论、非线性分析和非光滑分析方法, 在变指数空间的几何拓扑结构、不定位势变指数特征值问题、变指数微分方程多解性、分数阶椭圆方程多解性等方面做了系统研究，获得了以下有意义的结果：（1）利用山路引理和Ekeland变分原理，成功的获得了一类四阶变指数特征值问题一族特征值的存在性；（2）在特定空间结构下，研究了一类四阶非齐次变指数算子的特征值问题的连续谱；（3）应用变分方法和临界点理论，获得了一些变指数微分方程多解存在性（包括变号解、两个解和三个解）；（4）利用变指数空间理论和非光滑临界点理论，获得了一些变指数微分包含问题多解的存在性（包括变号解、两个解和三个解）；（5）利用变分方法并结合截断函数的技术，讨论了三类具有分数阶导数的椭圆微分方程的多解性。. 本项目的完成，不仅丰富和发展了泛函分析、非线性分析和微分包含的理论，而且为控制论与最优化在工程科学中的应用提供了前瞻性的研究基础。