凯勒芬斯勒（Kaehler Finsler）流形的几何分析

本项目主要研究Kaehler Finsler流形的整体微分几何性质。首先研究Kaehler Finsler流形上的各种消灭定理；其次研究Kaehler Finsler流形的子流形理论，包括Kaehler Finsler流形的实子流形、复子流形以及柯西-黎曼（CR）子流形理论；再次就是研究Kahler Finsler 流形上的各种比较定理，如拉普拉斯比较定理、体积比较定理等。

本项目的研究计划要点是研究Kaehler Finsler流形上的消灭定理， Kaehler Finsler流形的子流形理论以及Kaehler Finsler 流形上的比较定理。我们基本上完成了研究计划。. 首先，我们在之前定义的Kaehler Finsler流形上的复水平Laplacian算子及复垂直Laplacian算子的基础上，进一步研究了实Finsler流形上的水平Laplacian算子和垂直Laplacian算子，目的是为比较强凸的Kaehler Finsler流形上实的水平Laplacian算子与复水平Laplacian算子之间的关系，我们得到了实Finsler流形上的Bochner型消灭定理。其次，由于复Minkowski空间是自然的、最为简单的Kaehler Finsler流形，我们首先研究了Minkowski空间的超平面的几何性质，得到了Simons不等式，并在适当的限制性条件下证明了超平面为具有常曲率的Riemann流形。再次，我们比较了强凸的Kaehler Finsler流形上实Berwald联络与复Berwald联络。我们定义了一类新的复Finsler度量，即弱的复Berwald度量，并在强凸的Kaehler Finsler流形与弱Kaehler Finsler流形的情形给出了实Berwald度量与弱的复Berwald度量的刻画。证明了复欧几里德空间中的复Wrona度量是弱的复Berwald度量，而不是复Berwald度量，从而找到了一个非平凡的弱的复Berwald度量的重要例子。我们还得到了复Wrona 度量的实测地线方程，给出了该测地线方程的显式解，并证明了复Wrona 度量的Ricci曲率与全纯截面曲率均恒为零。最后，我们研究了复流形上带权的复Randers度量，证明了一个刚性定理：设M为一个复n维的紧复流形，如果M容许一个具有正的常全纯截面曲率的带权的复Randers度量，则M与复n维的复射影空间全纯同构。