海森堡群上算子及相关问题研究

海森堡群是非常典型的非交换群，其上调和分析问题的研究是欧氏空间上调和分析问题的延伸与发展，是非交换调和分析的重要组成部分，在量子力学，偏微分方程，数论等许多领域发挥着重大的作用。海森堡群上调和分析问题是一些专家、学者关注的焦点问题之一。本项目旨在以调和分析的基本理论为基础，在已有工作的基础上，对海森堡群上一些调和分析问题进行研究。研究内容主要包括以下三个方面：（1）研究海森堡群上某些函数空间，对这些函数空间进行刻画，并进一步研究函数空间之间的相互关系；（2）对函数空间上某些算子的连续性问题进行研究，其中主要研究奇异积分算子及相关算子、部分乘子。（3）在（1）（2）两方面问题的研究基础上，利用调和分析问题的基本方法、技巧作为工具，探讨在其它方面的应用。

本项目主要是对海森堡群上的一些调和分析问题进行研究。海森堡群是典型的非交换群，对其上调和分析问题的研究具有重要的理论意义和研究价值。海森堡群上调和分析问题的研究始于上世纪七十年代。与欧式空间上的调和分析问题进行比较，海森堡群上相关问题的研究并不是平凡的推广，甚至会遇到一些实质性的困难，需要寻求新的方法和技巧，甚至会出现一些全新的结果。本项目主要研究的内容如下：一是研究海森堡群上的函数空间，研究这些函数空间的特征，性质和相互关系；二是研究海森堡群上某些算子在函数空间上的有界性问题；这些算子主要是一些积分算子和乘子；三是研究与以上两方面问题相关的其他调和分析问题，主要包括齐次群上一些调和分析问题和四元数海森堡上一些算子的性质。对群上相关问题，特别是对海森堡群上调和分析问题的研究对数学科学理论的多个分支发挥着重要的作用，如偏微分方程，多复变理论等。