双参数振荡积分算子及海森堡群上的Moser-Trudinger不等式

The main purpose of this proposal is to study the boundedness of bi-parameter oscillatory singular integrals and Moser-Trudinger inequality with exact growth condition on Heisenberg group with the ideas and methods of harmonic analysis and functional analysis. First, we will try to set up the boundedness of the simplest case of bi-parameter oscillatory singular integrals that's the oscillatory biparameter hilbert transform . After that, we will develop some covering lemma and Interpolation tool, and using these tools we will study the Then we will study the boundedness of bi-parameter oscillatory singular integrals. At last, we will deepen the rearrangment-free method used by the proposer to consider the geometric inequality before, and build the Moser-Trudinger inequality with exact growth condition on Heisenberg group with this deepen rearrangment-free method.

本项目拟运用调和分析,泛函分析的的思想和方法研究双参数振荡奇异积分算子及海森堡群上的几何不等式.首先我们将研究最简单的一类双参数振荡积分算子即带振荡项的双参数Hilbert变换的有界性.然后我们将尝试建立适当的覆盖引理和插值理论，然后利用这些工具去探讨最一般的双参数振荡奇异积分算子的有界性.最后我们将深化项目申请人之前发现的研究几何不等式的非对称重排方法，然后使用该方法建立海森堡群上具有最佳增长的Moser-Trudinger不等式及其最佳常数.

双参数调和分析不是单参数结果的简单推广，它需要更深刻的思想和更先进的技术。双参数调和分析的研究兴起于上个世纪80年代，迄今为止，仍然是调和分析的一个重要领域。几何不等式过去几十年一直是现代分析的最活跃最重要的领域之一，如今使用调和分析的方法研究几何不等式也成为了一个新的手段。本项目的研究内容如下：在相位函数两个参数可分离的条件下建立了卷积型的双参数奇异振荡积分的强有界性；在更大的函数空间即Loretz-Sobolev空间中研究了临界和次临界的Moser-Trudinger不等式的等价性；研究了两类多线性分数次积分算子的弱极限行为，发现了他们的差异性；在最小正则性的条件下对相应于Log-Sobolev不等式的欧拉-拉格朗日方程做了解的分类。这些结果有些是对已有结果的本质改进，有些则是新的研究的开端，为未来的研究提供进一步的可能性。我们使用的方法来自调和分析，同时又与偏微分方程有着不可分割的紧密联系，这些结果将丰富双参数调和分析和几何不等式理论。本项目部分结果已发表于期刊Potentia lAnal.,Nonlinear Anal.及Adv.Math.上。