周期扰动系统的分支研究

The bifurcation theory of autonomous systems has been well-developed. Bifurcations for nonautonomous systems were relatively less studied. In this project, we will focus on a special nonautonomous system, that is, periodically perturbed system， and discuss the effect of periodic perturbation on Bogdanov-Takens (BT) bifurcation of codimension two and generalized Hopf bifurcation. For the periodically perturbed BT bifurcation system, we determine how the number and stability of periodic solutions change with the perturbation frequency, analyze how the quasi-periodic solutions and chaos depend on the perturbation frequency and the Hopf frequency; and explore the effect of periodic perturbation on homoclinic loop. For the periodically perturbed generalized Hopf bifurcation system, we will pay attention to dynamics of the perturbed system under the influence of the Hopf frequency and the perturbation frequency, when the corresponding unperturbed system has one or two limit cycles or one semistable limit cycle. Besides, we will apply the theoretical results obtained in practical systems and figure out the dynamics before and after the effect of periodic perturbation, to provide a new insight into the governing of populations, the prevention and control of epidemic diseases and the dynamics of material deformation.

关于自治系统的分支问题，已经有了较完善的理论体系，而对于非自治系统的分支研究相对较少。本项目关注一种特殊的非自治系统——周期扰动系统的分支问题，探讨周期扰动对余维二Bogdanov-Takens(BT)分支和广义Hopf分支的影响。对于周期扰动BT分支系统，研究周期解的个数、稳定性等随扰动频率的变化；考察当Hopf分支产生的极限环的频率和扰动频率相互作用时，系统可能出现的拟周期解、混沌等；分析周期扰动对同宿环的影响。对于周期扰动广义Hopf分支系统，研究当无扰动系统有一个极限环、两个极限环或一个二重不稳环时，扰动系统在极限环频率和扰动频率共同作用下的动力学行为。此外，本项目将把所得理论结果应用于实际系统，理清它们在周期扰动前后的变化，为种群的人工调节、传染病的预防和控制以及材料形变动力学等提供新的视角。

周期变化的因素对生物种群行为、传染病传播、材料形变动力学等有着不可忽视的影响，因此，近年来周期扰动系统受到越来越多学者的关注。本项目首先研究了一个周期电压扰动的静电驱动微机电系统中的弹簧质点模型，利用Mańasevich–Mawhin连续定理，得到了方程周期解的存在性，利用分支理论和连续延拓法给出了系统的分支分析。在周期电压扰动下，系统出现了丰富的动力学行为，包括周期解的鞍结点分支和倍周期分支，稳定和不稳定的T周期解、2阶及4阶次调和解，以及双稳现象等。该结果回答了P. Torres提出的开放问题，并首次在微机电系统中发现了双稳现象，从另一种角度解释了系统的拉入不稳定性，为合理利用和控制静电驱动微机电系统中的拉入不稳定性提供了一些理论基础。其次，为了理清入侵物种在周期变化无界初始环境中的传播规律，本项目首先关注物种在齐次无界初始环境中的传播现象，应用不动点定理、比较原理、上下解方法和分析技巧等，研究了一个无界初始区域上非局部扩散方程自由边界问题解的渐近行为。我们发现传播一定会发生，这明显不同于有界区域上的自由边界问题(传播和消失均可能发生)；证明了传播速度可能是有限的或者无限的，并且当其无限时，给出了进一步的速度估计。这些结果展示了丰富的入侵物种传播规律，并为我们研究入侵物种在周期变化环境中的传播现象提供了理论和方法支撑。