非一致双曲系统的基本集的统计性质

本项目主要研究非一致双曲系统的动力学及其统计性质，主要包括研究非一致双曲系统的动力学及其Poincare 回复性以及回复性与Lyapunov 指数，熵之间的关系等问题；同时研究某些势函数对应的平衡态的存在性，唯一性，以及平衡态的统计性质；Henon-like 映射的一致双曲系统的边界及边界系统的动力学及其相关的一些问题；同时研究非共形及随机非共形排斥子的Hausdorff维数问题，并研究它们的谱的问题。

主要研究次可加拓朴压的变分原理、随机次可加拓扑压的变分原理及其在动力系统的维数理论中的应用； 同时研究极限可加势函数的$u$ 测度的多重分形分析的变分原理；多峰映射的Kneading映射的动力学；Katok提出研究双曲系统和扩张映射在Holder共轭下的不变性问题等。 主要结果如下：1。应用确定性的次可加拓朴压的变分原理，解决了某些非共形排斥子和平均共形排斥子的Hausdorff维数估计问题， 给出平均共形排斥子的Hausdorff维数是广义Bowen方程的根；同时证明了次可加拓朴压的局部变分原理， 并利用它给出次可加拓朴压的变分原理的一个简单证明； 进一步我们证明了具有Mistake次可加函数拓朴压的变分原理; 研究了极限可加函数的非正规点集的极限可加函数的拓朴压; 给出了次可加测度理论压的定义，证明了次可加测度理论压是测度理论熵与势能的和，同时构造了一个具有正则性质的集合，证明它的次可加拓扑压等于次可加测度理论压， 进一步应用这些结果给出了动力系统的维数估计得的一些重要结果。.2。引进随机平均共形排斥子的概论， 并定义随机超可加拓扑压，证明了对于随机平均共形排斥子，随机超可加拓扑压的变分原理成立， 利用这些结论给出了随机平均共形排斥子的维数是Bowen方程的根，这是为数不多的非共形排斥子， 能够得到维数的精确表达式。.3。对于满足Satureted的动力系统， 证明了极限可加势函数的$u$ 测度的多重分形分析的变分原理， 并应用到平均共形排斥子上的极限可加势函数的Hausdorff维数的多重分形分析的变分原理，以及弱Gibbs测度的多重分形分析。.4。我们研究多峰映射的Kneading映射的一些性质，并讨论Collet-Eckmann映射对应的Kneading不变量在符号空间中所占的比例，我们证明它们具有满Hausdorff维数。.5．Katok曾提出研究双曲系统和扩张映射在Holder共轭下的不变性问题，该问题与群作用下的动力系统的刚性有关。在C(1+\alpha)情况下该问题已解决或有反例，而C1情况还是公开问题，我们证明了在C1时Lipschitz共轭能够保持Anosov系统和扩张映射，为进一步研究C1下扩张映射的Holder共轭不变性打下基础。