非一致双曲系统中大偏差理论的研究

The research of large deviation theory in dynamical systems is one of the hotspots in the dynamical system fields. There are two branches in this field. One of them concerns the decay-rate of deviation set''s measure, the other concerns the increasing rate of the periodic orbits with deviation property. In the uniformly hyperbolic and non-uniformly expanding systems, people get solutions to both two problems. This program concerns the deviation phenomenon in non-uniformly hyperbolic systems. More specially, with the help of Pesin theory, I plan to get the lower bound of the decay-rate of deviation set''s measure and investigate the properties of the zeta-function generated by the periodic orbits with deviation property. This work will show great significance in the research of large deviation theory in dynamical systems.

动力系统中的大偏差问题是当今微分动力系统与遍历论的研究热点之一。动力系统中的大偏差问题共分两类：一类关注偏差点集测度的指数变化率；另一类关注具有偏差性质的周期测度的分布。这两类问题在一致双曲与非一致扩张系统中都得到了圆满的解决。本项目将致力于非一致双曲系统中两类大偏差问题的研究。具体地讲，本项目拟运用Pesin理论，研究非一致双曲系统中偏差集测度的指数变化率、具有偏差性质的周期测度的分布以及由此定义的zeta函数。本项目的工作对于推进动力系统中大偏差问题的研究有着重要意义。

本项目主要研究非一致双曲系统中出现于周期轨道上的偏差现象，对于偏差现象的研究是动力系统领域的重要研究分支，具有理论意义。本项目在C^{1+a}的非一致双曲系统中，给出了具有>c型偏差的周期轨道的指数增长率的下界估计。此外，本项目还证明了C1可控制分解的系统中的Livsic定理。在该定理的证明中，本项目引入了与廖（山涛）理论相配套的Pesin块分解，使得经典的Pesin理论能够和我国的廖理论有机的结合，这也是本项目的一个创新点。经过项目组成员一年的研究，现完成英文学术论文两篇。