Dirichlet L-函数、Gauss和及相关问题研究

The estimation for L-functions and the mean value of some famous summations are all the important problem in analytic number theory. They have close relations with many number theory problems and very important applications. Recently, there has been some important progress on this direction, specifically for the fourth mean value in s=1/2 of Dirichlet L-functions, M.Young has made remarkable progress. In this project, we aim to work on the upper or lower bound estimates or distribution properties of mean value of some L-functions, and to study the application of these mean values of L-functions in exponential sums，character sums, Kloosterman sums and some generalized sums. Through this project, we plan to give some upper bound estimates or asymptotic properties of mean value of L-functions, and want to explore the relationship of L-functions and some famous summations to get a few arithmetic properties of these summations.

L-函数的均值估计以及数论中一些重要和式的均值研究，一直以来都是解析数论中的重要研究课题，许多问题都与它们密切相关。近年来，关于L-函数的均值研究取得了新的进展，其中关于L-函数在s=1/2处四次均值问题，M.Young已经给出了很好的结果。本项目旨在研究L-函数各种不同形式的均值估计，并以此为基础研究L-函数在指数和、特征和、Kloosterman和等和式算术性质研究中的应用。计划通过本项目的实施，给出L-函数的各种混合均值的上界估计或渐近性质，并通过寻求L-函数与以上和式之间的关系，更好的研究这些和式的算术性质。

数论中一些重要和式如指数和、特征和、Dedekind和等以及L-函数的值分布性质研究属于数论研究的核心问题，与许多重要的数学问题密切相关，一直以来很多学者从不同角度深入研究了这些和式与L-函数的相关性质，并且有关不同和式的均值分布性质、L-函数的上下界估计等都被广泛的应用到许多数学问题中并起到了非常重要的作用。本项目主要研究了Dirichlet L-函数在正整数点处的均值分布性质，深入探讨了L-函数的高次均值与类Dedekind和的联系，并研究了L-函数、Gauss和在类Dedekind和、Hurwitz zeta函数、Kloosterman和等算术函数研究中的应用，同时还研究了这些和式在短区间上、满足某些条件的特殊集合上的值分布问题，其次还研究了Chebyshev多项式与Fibonacci多项式的相关性质以及Ding-Helleseth-Martinsen二元序列的p-adic复杂度问题，取得了一系列的研究成果。