p.c.f.自相似集上的函数与Dirichlet型及相关问题

The contents of this project include: (1) The properties of.fractal interpolation functions (FIFs) on p.c.f. self-similar sets. We expect to.present the necessary and sufficient conditions by vertical scaling factors such .that FIFs have finite energy. We will also discuss normal derivative and Laplacian of these functions. We expect to characterize the relationship between FIFs and the Green function. Moreover, we will study resolvent kernel by FIFs.. (2) Hot-spots conjecture on p.c.f. self-similar sets. The conjecture involves.the second eigenfunctions of Laplacian with the Neumann boundary condition. We will deal with the conjecture on the p.c.f. self-similar sets. We will also attempt to show whether these functions attain their extreme values on the boundary.. (3) The existence and uniqueness of Dirichlet form on p.c.f. self-similar sets. We will also discuss how to define Dirichlet form on the Sierpinski Carpet.. (4) The fractal interpolation on local fields. We will compare with that of on the p.c.f. self-similar sets. We will define fractal interpolation functions and Green functions, and evaluate some applied examples.

本项目研究内容包括：(1) p.c.f.自相似集上分形插值函数的性质。期望用.纵向尺度因子刻画这类函数具有有限能量的充要条件，并考察它们的法向导数和Laplacian。.期望刻画分形插值函数与Green函数的关系，并利用分形插值函数考察预解核。.(2) p.c.f.自相似集上的热点猜想。热点猜想涉及带有Neumann边界条件的拉普拉斯.算子的第二特征函数。期望在定义域为p.c.f.自相似集的情形下，尝试证明，这类函数的最值是否一定在边界上达到。.(3) p.c.f.自相似集上Dirichlet型的存在性与唯一性。此外，也将研究如何在Sierpinski地毯上定义Dirichlet型。.(4).局部域上的分形插值。将与p.c.f.自相似集上的分形插值相比较。也将定义局部域上的分形插值函数与Green函数，并给出实际应用的例子。

分形上的分析是分形理论研究中的一个重要方向，本项目主要研究该方向中的以下内容：p.c.f.自相似集上的热点猜想、分形插值函数、Dirichlet型的存在性与唯一性，以及局部域上的分形插值及相关问题。.在基金的支持下，我们得到了以下研究计划内的成果：.（1）、在“热点猜想”问题上，利用谱提取算法，证明了该猜想在三等分Sierpinski垫片上成立（2013年发表）；2016年，进一步证明了热点猜想在高维Sierpinski垫片上成立（已发表）。同时我们还证明，热点猜想在hexagasket上不成立（已投稿）..（2）、对于p.c.f.自相似集上的分形插值函数，我们用简洁的方式给出了它们具有有限能量的充分必要条件，然后我们研究了具有一致纵向尺度因子的分形插值函数的Laplacian（已投稿）。此外，我们研究了分形插值函数的最大最小值。（已投稿）。.（3）、Martin边界与Dirichlet型的研究有着密切关系。在这一方面，我们对于不变集为单位闭区间的迭代函数系，讨论了其上有限个词的转移概率。我们给出了转移概率满足Harnack不等式的充分必要条件（2015年发表）。.（4）、在局部域上定义了分形插值函数，并研究了它们的Holder连续性（2014年发表）。进一步，在局部域上，建立了函数的构造理论：利用拟微分算子，引入了分形微积分的概念，并建立了Jackson逼近定理、Berstein逼近定理等（2015年发表）。.在基金的支持下，我们还得到分形理论中其它相关问题的一些成果：.（5）、在Lipschitz等价性方面，取得了多项研究成果：总结了2013年之前国内外关于Lipschitz等价性方面的研究（2013年发表）；深入研究了带有接触结构的自相似集的Lipschitz等价性（2014年发表）；利用拓扑的方法研究了分形方块的Lipschitz等价性（已投稿）。.（6）、给出了矩形区域上的分形插值曲面的一般构造方法，同时也给出了构造双线性分形插值曲面的方法（2015年发表）。