L-函数、大值特征和及相关问题研究

The estimation for L-function and character sum are all the central problem in analytic number theory. They have colse relations with many number theory problems and very important applications. Recently, due to the introduction of new methods, number theorists have made breakthrough in this two problems. By analyzing the essence of value distribution of large character sums, A. Granville and K. Soundararajan have obtained some significant estimation for character sums and greatly improved the famous Polya-Vinogradov upper bound for primitive characters of odd order. By researching the relations between various character sums and their corresponding L-functions,combining resonance method and analytic technique, we will study the upper or lower bound esitimation and mean value distribution of large character sums over different intervals or number sets, upper or lower bound estimations or computations of character sums over finite fields, elliptic curves, normal groups, polynomial rings and some special number sets. Combining random matrix theory and analytic mehtods, we also study the lower or upper bound estimates or distribution properties of mean values of some L-functions on crucial region, and to study the application of these mean values of L-functions in character sum, Gauss sum, Dedekind sum and some number theory problem such as distribution of integer and its inverse.

L-函数与特征和的估计问题都是解析数论研究的中心问题，许多数论问题都与它们密切相关。近年来，由于新方法的引入，在这两方面的研究工作都取得了突破性的进展。A. Granville与K. Soundararajan通过对大值特征和取值规律本质的分析，获得了一系列有关特征和的重要估计，并对奇数阶原特征的情形很大程度地改进了Polya-Vinogradov上界。本项目拟通过对不同特征和与相应L-函数关系的深入研究，并结合共鸣方法与解析技巧研究大值特征和在不同区间或不同数集上的上下界估计以及高次均值估计问题以及有限域、椭圆曲线、正规群、多项式环以及某些特殊数集上特征和的上下界估计或计算问题，并利用随机矩阵理论和解析方法研究一些L-函数在关键区域的上下界估计与均值分布性质以及这些性质在特征和、Gauss和、Dedekind和与整数及其逆的分布等数论问题中的应用。

特征和与L-函数的值分布性质研究属于数论研究的核心问题，与许多重要的数学问题密切相关，一直以来众多学者从不同角度深入探究了特征和与L-函数的取值特点与规律，很多有关L-函数或特征和上下界估计、不同的均值分布性质被广泛地应用到各种重要的数学问题当中并起到了关键的作用。本项目主要分析了特征和取值的本质规律，探讨研究了不同区间上、不同集合上特征和的值分布性质，总结学习了相关的研究方法与研究内容，分析研究了L-函数的均值分布性质，深入研究探讨了特征和与L-函数在Dedekind和、Hardy和、带特征指数和、Kloosterman和等算术函数研究方面的应用，并开展了整数及其逆的推广、k-次剩余的分布等相关问题的研究工作，取得了一系列的研究成果。