高维扩散方程（组）有限点方法的理论分析和初步应用

Based on the previous research, this project continues to investigate a new meshless method - finite point method. Its difference from other meshless methods is that it employs only five neighboring points ( in 2D ) and nine neighboring points ( in 3D ) when getting approximation to directional differentials with expected accuracy on scattered points set. The current project mainly consists of: (1) On 2D scattered points set, establishing the theoretical fundamentals of finite point method for diffusion equations, which include maximum principles for discrete solution, prior estimates to first order and second order difference quotients, and convergence and stability analysis; (2) For energy equations coupled with electron temperature, ion temperature and photon temperature in practice, performing adaptive simulation based on typical 2D physical models by finite point method; (3) On 3D scattered points set,constructing relations between first order and second order directional derivatives, giving corresponding numerical formulae with second order and first order accuracy, respectively, and establishing finite point method for three dimensional diffusion equations. The researches mentioned above have much complexity and difficulty, and remarkable originality. As viewed from the trends of scientific computing for massive complex problems, it has fine perspective in application.

该项目在已有工作基础上，继续研究一类新型无网格方法--有限点方法。区别于其它无网格方法，该方法在散乱点集上对方向微商获取理想的近似，使得离散点的邻点数仅为5（二维情况）与9（三维情况）。 该项目主要研究：（1）在二维散乱点集上，建立扩散方程（组）有限点方法的初步理论基础，包括离散解极值原理、一阶与二阶差商的先验估计以及收敛性与稳定性；（2）对应用中具有电子温度、离子温度和光子温度的三温能量方程组，基于典型二维物理模型，实施有限点方法的自适应数值模拟；（3）在三维散乱点集上，建立一阶与二阶方向微商关系式及相应的分别具有二阶与一阶精度的数值公式，建立三维扩散方程有限点方法。 上述研究具有较大的复杂性与难度，研究内容具有较显著的创新性，从大型复杂问题科学计算发展趋势看，它有良好的应用前景。

本项目针对高维扩散方程（组）开展有限点无网格方法的理论分析和初步应用研究。区别于其它无网格方法，该方法在散乱点集上对微商获取理想的近似，仅需被逼近点及其5邻点（二维情况）和9邻点（三维情况）信息。. 本项目在二维散乱点集上，建立了扩散方程（组）有限点方法的初步理论基础；在三维散乱点集上，建立了扩散方程有限点方法初步的方法基础。主要成果有：. (1) 针对一般形状的复杂计算区域研究了离散点集的生成与管理方法，建立了离散点集的快速生成方法； 提出了离散点集分布质量的有效评估准则和自适应调整算法；建立了离散点的快速搜索方法； 设计出多种健壮的邻点选取方法；. (2) 进一步深化了二维有限点方法的基础理论，给出了新的数值方向微商公式和方向微商的极值性质；. (3)在二维散乱点集上，针对扩散方程，建立了多种适用于强非线性问题的健壮、高精度的有限点格式；建立了有限点方法的初步理论基础，包括：a) 对拉普拉斯方程，给出了所构造格式为正格式的若干充分条件,证明了离散极值原理以及离散解的存在唯一性，获得了离散解的先验估计。同已有结果相比，这些结果更具有一般性；b) 针对一般形式的椭圆方程，利用能量估计方法，得到了方向差商的先验估计；c) 针对一般抛物型方程设计的显、隐有限点格式，获得了相应的稳定性分析结果；. (4)对实际应用中的三温能量方程组，给出二维有限点离散方法,设计了自适应邻点选取方法及空间自适应算法，形成了计算软件，并针对典型问题给出了有效的自适应数值模拟；. (5) 初步建立了三维有限点方法基础，获得了规范化的三维方向微商关系式；极大地简化了数值微商的推导过程，获得了具有显式形式的数值微商公式和数值微商可解性条件；基于可解性条件建立了九邻点选取方法；构造出若干具有最小模板的三维有限点离散格式。. 上述研究具有较大的复杂性与难度，研究内容创新性强。计算实践表明，该方法有深入推广应用的价值和良好的应用前景。.