一类p-Laplace型Allen-Cahn方程鞍形解的研究

In this item, the existence and stability of saddle solutions in even-dimension spaces for a class of Allen-Cahn equations involving p-Laplacian will be investigated. We will glue the solutions obtained from the Simons cone to get the existence and the estimate of saddle solutions. Later, we will linearize the p-Laplacian oprator around the saddle solution. By Morse index theorem and some inequalitis, we will prove the instabilities of the saddle solutions on 2、4、6 dimensional spaces. In other words, the unstable solutions are not the minimizers. And the same time, the condition such as p, f and n which determine on the saddle solutions will be obtained. The research results will help to compare the De Giorgi conjecture with p=2 and p≠2 conditions, and provide a reference for the conjecture.

本项目将运用变分法研究一类含p-Laplace型Allen-Cahn方程鞍形解在偶数维空间的存在稳定性。我们将Simons锥上的极小化子胶合，得到偶数维空间鞍形解的存在性以及解的逐点估计结果。然后将算子在鞍形解附近线性化，运用Morse理论与相关不等式得出鞍形解在2、4、6维空间的不稳定性结果，也就是说鞍形解不是全局极小化子，同时确定p、f 及维数 n 对鞍形解存在稳定性的决定性作用。其研究成果将为推广的De Giorgi猜想提供一些对比与参考。

在项目期间研究了如下种类型的方程：一、对如下非线性偏微分方程− div(a(|∇u|)∇u) = 0.研究了其在Orlicz-Sobolev空间中粘性上（下）解、弱解及上（下）调和函数之间的联系；该文发表在Electronic Journal of Differential Equations刊物上。二、研究了非线性发展方程ut= div(a(|∇u|)∇u) + f(x,t,u)在Orlicz-Sobolev空间中整体解的存在性，通过对 f(x,t,u)的增长性条件适当条件，得到了整体解的存在唯一性，已经向Boundary Value Problems投稿，尚在审稿中。三、研究了p(x)-Laplace方程∆p(x)u+V(x)|u|p(x)−2u=Q(x)f(x,u),x∈RN，将王志强等研究的p-Laplace方程进行了推广，得到了无穷多个Clark型的解，本结果已经发表在《数学研究》(英文)上面。另外研究了∆pu=f(x,u)在一定条件下鞍形解的存在性，以及对应的∆p(x)u=f(x,u)方程鞍形解存在性与性质，该文已初步完成。