退化型p-Laplace方程的研究

This project is a research on degenerate p-Laplace equations. The degenerate operators to be studied are cone type degenerate p-Laplacian, edge type degenerate p-Laplacian and conner type degenerate p-Laplacian. The study is motivated by geometry background. The p-Laplace equations have been widely studied for both degenerate case and non-degenerate case. Compared with the study before , the difficulity of the Dirichlet boundary value problems in the present project is that the boundary is exactly the characteristic surface for the degenerate operator. The following three aspects are mainly to study: eigenvalue problems, quasilinear degenerate equations with perturbation terms, and quasilinear degenerate equations with singular potential terms. Based on preliminary work and existing results, the applicants will continuously study on above-mentioned problems and obtain more deep results.

本项目主要研究退化p-Laplace算子的特征值问题，带有扰动项或带有奇异势的退化p-Laplace方程。本项目拟定研究内容是经典的非退化p-Laplace方程、退化平方和算子方程及其他已有的退化p-Laplace方程等研究成果的推广和进一步发展。本项目的特色和创新之处在于构成所研究的p-Laplacian的梯度算子本身是退化的，这种退化来源于其几何背景，并且本项目的研究也可作为奇异流形研究的应用，有助于理解和研究相应的奇异流形的几何性质；研究成果和方法对处理更高程度退化的算子及方程有启发作用。项目的研究需要构造与所研究问题相应的加权Sobolev空间并且建立一系列不等式也是创新所在。本项目拟定的研究内容既是半线性退化椭圆方程研究的延续也是非线性退化型方程研究的一个探索。

项目按预期的研究计划进行，研究目标、研究内容未做调整和变动。项目研究基本完成了预期研究目标和研究内容。项目支持下发表9篇SCI论文，培养8名硕士研究生及3名博士研究生，其中一人获得南开大学硕士优秀毕业论文，一人获得南开大学优秀硕士毕业生。在项目支持下，项目组成员多次参加国内国际学术会议及学术交流等工作。项目研究主要成果分为两大部分。第一部分成果包括得到了非线性退化的椭圆方程多解的存在性，锥型退化p-Laplace算子特征值的存在及渐近性质，Corner型退化的p-Laplace算子以及算子构成的拟线性退化椭圆方程的多解的存在性以及Corner型退化的p-Laplace算子特征值的渐近性质和一类由1-Laplace算子构成的非线性偏微分方程解的存在性。第二部分成果包括分数阶Laplace系统在无界Lipschitz区域上的单调性，含有分数阶p-Laplace算子的Choquard方程的正解的对称性，在无穷Lipschitz区域上的分数阶p-Laplace方程系统的正解的单调性以及一类非齐次椭圆问题解的正则性等结果。