平面扩散波关于带耗散结构的非线性发展方程解的稳定性研究

Nonlinear evolution equations with damping are important partial differential equations for mathematics and physics due to its close relation with real physical phenomena. For this reason, the timely-asymptotic behavior of the solutions to nonlinear evolution equations has long been interested, which is also the research focus of the present project. The applicant has done some preliminary works in terms of the local stability and the optimal decay rate of the solutions. In the proposed research project, we will further deepen our study, with the emphasis placed on the cases for the big initial turbulence and the big strength of the diffusion wave.

带耗散的非线性发展方程通常具有深刻的物理背景，是数学和物理中很重要的一类偏微分方程，对其解的大时间行为的研究一直以来是非线性偏微分方程中的研究热点。本项目主要研究一类带耗散的非线性发展方程解的渐近行为。申请人在此课题领域已经做出一些初步性工作，研究了平面扩散波关于一类带耗散的非线性发展方程解的局部稳定性以及最优衰减速度。目前，我们将把研究重点放在高维空间中平面扩散波关于该类带耗散的非线性发展方程解的全局稳定性问题上（即大扰动以及大强度的情形）。

在本项目中，研究了平面波关于一类带耗散结构的非线性发展方程的渐近稳定性问题。本项目已完成预定的研究任务，达到预期的目标。非线性发展方程是偏微分方程理论中的一类基本方程，具有重要的数学理论研究价值和物理应用意义，对其解的渐近行为的研究一直以来是偏微分方程中的研究热点。具体来讲，本项目研究了平面扩散波关于一类带耗散结构的非线性发展方程在初始扰动和波的强度比较大的情况下的大时间行为；并且研究了带有毛细管项的粘性可压缩流体单调行波解的渐近稳定性，以及研究了在三维区域中，带有Navier-Slip边界条件的可压缩Navier-Stokes 方程组的粘性消失极限问题。本项目取得了丰富的研究成果，部分结果已在《SIAM J. Math. Anal.》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《Acta Mathematicae Applicatae Sinica-English Series》等刊物上发表，还有些结果在整理中，即将投稿。