带 Korteweg 项的流体方程扩散波的稳定性

The compressible fluid models of Korteweg type with important physical significance usually describe capillarity for compressible viscous and in-viscous fluid. This project is concerned with the stability of compressible Euler-Korteweg and Navier-Stokes-Korteweg system in one dimension, and compressible Navier-Stokes-Korteweg system in two dimension when initial density and velocity have different far-fields. The asymptotic behavior of solutions to these equations is described by Darcy's law, and the solutions tend to corresponding nonlinear parabolic equation time-asymptotically i.e., nonlinear diffusion waves or planar waves. Based on elaborate energy estimates and constructing correction function, we expect the global classical solution to the compressible fluid models of Korteweg type algebraic converge to their nonlinear diffusion waves or planar waves.

带 Korteweg 项的可压缩流体模型主要描述带粘性或不带粘性可压缩流体流动时的毛细血管效应，在物理上有重要的意义。本项目主要研究了当初始密度和速度在无穷远处取值不相等时，一维可压缩 Euler-Korteweg 方程, 一维可压缩 Navier-Stokes-Korteweg 方程和两维可压缩 Navier-Stokes-Korteweg 方程的稳定性，这些方程大时间后的行为由 Darcy 定律刻画, 并且时间充分大时，解收敛到非线性抛物方程，也就是通常所说的非线性扩散波或平面波。通过使用能量估计和构造矫正函数的方法，我们期望得到光滑解代数收敛到对应的非线性扩散波或平面波。

带依赖时间阻尼的Euler方程与耗散系数依赖时间的波动方程有着密切联系。它描述了通过非均匀多孔介质的可压缩流体，且摩擦力依赖时间，是带阻尼的Euler方程的一种推广。本项目研究了带依赖时间阻尼的Euler方程Caucy问题和初边值问题的渐近行为和衰减率。我们严格证明经典解收敛到扩散波的稳定性,从而证明了Darcy定律。此外，我们还研究了带阻尼的Euler-Korteweg方程、微极流模型、液晶模型、液体-气体两相流模型以及等温Navier-Stokes方程。