几类延迟微分方程和随机微分方程的数值分析

Delay differential equations (DDEs) and stochastic differential equations (SDEs) have been widely applied in many fields such as control engineering, mechanics, biology and economics. In this project, convergence, convergence rate and stability are investigated for several classes of DDEs and SDEs. The conditions under which the numerical methods preserve and predict the stability of the equations are given for stochastic differential equations(SDEs), stochastic delay differential equations(SDDEs), deterministic and stochastic differential equations with piecewise continuous arguments (DEPCAs、SDEPCAs), and deterministic pantograph differential equations(DPDEs); Explicit convergent numerical methods are constructed for stochastic differential equations with piecewise continuous arguments (SDEPCAs), stochastic pantograph differential equations(SPDEs) and stochastic impulsive differential equations (SIDEs). Convergence conditions of linear multistep methods are given for stochastic differential equations with piecewise continuous arguments (SDEPCAs), and modified convergent linear multistep methods are constructed.

延迟微分方程（DDEs）和随机微分方程（SDEs）在控制工程、力学、生物学和经济学等众多领域有着广泛的应用。本项目研究几类DDEs和SDEs数值方法的收敛性、收敛阶及稳定性。针对随机微分方程（SDEs）、随机延迟微分方程（SDDEs）、确定性的和随机的自变量分段连续型延迟微分方程（DEPCAs，SDEPCAs）及确定性的比例延迟微分方程（PDDEs）给出数值方法保持方程稳定的条件及数值方法稳定预测方程本身稳定的条件；针对不满足全局Lipschitz条件的自变量分段连续型随机微分方程（SDEPCAs）、随机比例微分方程（SPDEs）和随机脉冲微分方程（SIDEs）构造收敛的显式的数值方法；针对自变量分段连续型随机微分方程（SDEPCAs)给出线性多步法收敛的条件，建立改进的收敛的线性多步法格式。

延迟微分方程（DDEs）、随机微分方程（SDEs）、随机泛函微分方程（SFDEs）在控制工程、力学、生物学和经济学等众多领域有着广泛的应用。本项目研究了几类DDEs、SDEs、SFDEs及波场反源问题数值方法的收敛性、收敛阶、稳定性。针对SFDEs,在全局Lipschitz条件和非全局Lipschitz条件下，分别证明了方程的稳定性以及数值方法的收敛性和稳定性；针对DDEs和SDDEs,本项目构造了收敛的数值方法并研究了其稳定性；针对自变量分段连续型随机微分方程（SDEPCAs）,尤其是不满足全局Lipschitz条件的该类方程，构造了分裂步方法、驯服Euler方法等，并给出了数值方法的收敛性以及精确解和数值解稳定的充分条件等；针对Poisson噪声驱动的分段连续型随机微分方程，构造了强收敛的驯服Euler方法和分裂步方法，并进一步分析了上述数值方法的收敛阶和稳定性；针对声源和弹性波的重构及反演，提出了一种新的非迭代重建方法来解决齐次麦克斯韦系统中的多频远场反问题，同时证明了该方法的唯一性和稳定性。在此基金资助期间，项目负责人担任国际、国内学术会议主持或作邀请报告20余次；邀请国内外专家访问20人次，共作学术报告70余场；项目组成员中的研究生交流访问及参加学术会议29人次。本项目的研究成果丰富和发展了随机微分方程、随机泛函微分方程及其相应的数值方法的稳定性理论，并为相关的应用提供了科学依据。