边界条件对齐次拟线性双曲组行波解的稳定性影响

Partial differential equations play an important part in Geometry and many of Physical disciplines,and have been widely applied to the development of science and society. Based on this background, using the combining mehthod of characteristic method and energy method, taking homogeneous quasilinear hyperbolic system as the research object, we focus on the effect of boundary conditions on the stability of traveling wave solutions for homogeneous quasilinear hyperbolic systems. More specifically, we are expected to make progress in the following two aspects:. 1. We study the existence and stability of traveling wave solutions to Cauchy problem for homogeneous quasilinear hyperbolic systems.. 2. We study the effect of boundary conditions on the stability of traveling wave solutions to the mixed initial-boundary value problem for homogeneous quasilinear hyperbolic systems. More specifically,whether appropriate boundary conditions make the unstable traveling wave solutions stable and the stable ones unstable.. The research of these two aspects will further enrich and improve the theory of quasilinear hyperbolic system,and provide reliable theoretical basis for scientific computation in practical problem.

偏微分方程在几何学及很多的物理学科中具有举足轻重的地位，并广泛应用于科技和社会发展。以此为实际背景，本课题以齐次拟线性双曲方程组为研究对象，利用特征线方法与能量方法相结合的方法，重点考察了边界条件对齐次拟线性双曲方程组行波解的稳定性影响。具体地说，预期在以下两个方面取得进展：. 1.齐次拟线性双曲方程组Cauchy问题行波解的存在性及稳定性研究。. 2.对齐次拟线性双曲组混合初边值问题，研究边界条件对行波解的稳定性影响。具体地说，适当的边界条件能否使得不稳定的行波解变得稳定，而稳定的行波解变得不稳定。. 上述两方面的研究成果，将进一步丰富和发展拟线性双曲组的相关理论，并为实际课题中的科学计算提供可靠的理论依据。

众所周知，一阶拟线性双曲方程组作为偏微分方程的一个重要分支是当前的研究热点。本项目研究了一阶拟线性双曲方程组行波解的存在性及稳定性。主要成果分为以下几个方面：.1. 对角形拟拟线性双曲方程组Cauchy问题行波解的存在性及稳定性。若对角形方程组是线性退化的，当初值是行波解的微笑摄动条件下，得到了系统所有行波解是稳定的。并将之应用到Minkowski空间中的时向极致曲面方程及Chaplgin气体动力学方程组。.2. 一阶拟线性双曲方程组混合初边值问题行波解的存在性及稳定性。在拟线性双曲方程组某一个特征线性退化退化，边界函数满足某种条件下，得到对应于此特征行波解的存在性。当系统是线性退化时，通过半整体正规化坐标及波分解公式，证明了左向特征及最右特征对应的行波解是稳定的。最后举例阐明其余特征对应的行波解是未必稳定的。