一阶拟线性双曲型方程组行波解的稳定性研究及其应用

Partial differential equation plays an important part in Geometry and many of Physical disciplines, and the first-order quasilinear hyperbolic system as a branch of Partial differential equation is a research focus of mathematics. But, there are very few research results in this aspect. Based on this background, we are expected to use characteristic and energy methods to make progress in the following three aspects:. 1. The stability and application of traveling wave solutions to Cauchy problem for partially dissipative quasilinear hyperbolic systems. 2. The stability and application of traveling wave solutions to mixed initial-boundary value problem for homogeneous quasilinear hyperbolic systems.. 3. The stability of traveling wave solutions to some typical physical and geometrical models.. The research of three aspects will further enrich the theory of first-order quasilinear hyperbolic system, and provide reliable theoretical basis for scientific computation in practical problem.

偏微分方程在几何、物理及力学等学科中具有重要的地位，拟线性双曲组作为偏微分方程的一个重要分支是当前的研究热点之一。而拟线性双曲组行波解的稳定性无论在理论研究方面还是在实际应用方面均具有重要意义。但当前关于此方面的研究结果较少。以此为实际背景,本研究项目拟采用特征线与能量方法研究以下三个方面的问题： . 1.部分耗散双曲组Cauchy问题行波解的稳定性及其应用。 . 2.齐次双曲组混合初边值问题行波解的稳定性及其应用。. 3.一些典型物理及几何模型的行波解的稳定性研究。 . 上述三方面的研究，将丰富和发展一阶拟线性双曲组的相关理论，并为实际课题中相关的科学计算提供可靠的理论依据。

在几何和物理学科等领域中，偏微分方程具有重要的理论应用背景。作为偏微分方程的一个重要分支，一阶拟线性双曲组及一些数理模型解的适定性研究及渐近分析研究引起了很多数学工作者的兴趣。对前一问题，即一般拟线性双曲方程组（一维）的研究，光滑解关于小初值的研究已有很多的结果，但对大初值的研究结果相对较少。在我们的前面工作中，已经得到光滑解在零条件下关于小扰动初值在最外族行波解附近是整体存在的。 在此基础上，开展对简单波的应用型研究是非常有理论价值的。 对后一问题，即一些数理模型的稳定性研究，我们研究了两类重要的等离体子模型，即非等熵Euler-Poisson方程组及Euler-Maxwell方程组。对这两类模型，在等熵情况下，光滑解关于稳态解的小扰动是整体存在的。在非等熵情况下，情况有很大的不同。在这些实际的理论研究背景及其现实意义基础上，我们在这两个方面获得了一些很有价值的结果。.1. 简单波思想在拟线性双曲方程组双侧整体边界能控性问题中的应用。利用此思想，我们证明了拟线性双曲方程组单侧边值问题的整体边界能控性。.2. 非等熵Euler-Poisson方程组在周期区域上非常数稳态解的稳定性。我们确立了光滑解在大稳态解附近的整体存在性。在这一研究问题中，通过构造一个新的与压力变量由关系的变量，并利用对解做时空导数归纳思想得到解的整体存在性。在此基础上，将此结果推广到非等熵Euler-Maxwell方程组。.3. 我们研究了周期区域上非等熵Euler-Poisson方程组关于小物理参数的整体收敛极限问题。. 上述研究成果均已经发表于国际SCI期刊杂志，同时这些结果对实际的科学计算提供可靠的理论根据。