一些新的随机网络模型和渗流问题中的极限定理

In this project, from the view of limit theorems in probability theory, we shall study some topics in several random complex networks, which is an interdisciplinary area. This research area has attracted numerous of physicists and mathematicians in the past decade, since a large number of real networks have been established, and they grow very fast and influence the world deeply. In order to recognize the topological structures of real networks and to analyze their emerging complex properties, a popular method is modeling with suitable graphs or random graphs. The real networks also have huge sizes and evolve with complex randomness, so limit theorems in probability theory should be important research tools. Our study is consist of three parts: the first is the topological structures of several novel random network models; the second is the limiting behavior of the parameter estimations in some statistical network models, and the last is percolation problems in a few of basic network models. We shall investigate such random network models by finding the asymptotic distribution of the observed sequences of random variables or some other convergence of them. The background of random complex networks is very different from that of the classical limit theorems in probability, so our study will have positive effects in probability theory itself.

本项目主要从概率论极限定理的角度去研究一些随机复杂网络中的各种理论问题. 这个交叉领域最近十年已经吸引了大量学者的关注, 这是因为随着世界的发展, 各种现实网络繁多、增长迅速且影响深远. 由于现实网络一般结构庞大、具有复杂的随机性,所以概率论极限定理应该是其中一个非常重要的研究工具. 为了深入认识现实网络的复杂拓扑结构以及分析它们所带来的各种内在影响, 一种最普遍的研究方法是运用合适的图或随机图进行建模. 我们的研究主要分成三大部分: 一是考察一些新的随机网络模型中的极限性质; 二是研究领域拓展到统计中的网络模型, 主要研究参数估计中的极限性质; 三是考察一些简单网络模型上的渗流. 我们将通过寻求随机变量序列的渐近分布或证明其满足某种收敛性, 去揭示随机复杂网络中的各种规律.因为问题的背景与经典的极限理论背景有很大不同, 所以此研究将会对随机复杂网络和概率论本身的发展起到积极的作用.

自从本世纪初以来，用以模拟现实实际各种网络的网络模型是很多领域的研究热点，比如数学（主要是概率论与组合学），统计学，计算机和理论物理等。本项目主要以概率论极限理论的观点研究随机网络模型及图上的渗流问题，并拓展到统计网络模型中理论问题研究。我们的研究结果大致上可以分为三个部分，总结如下：..（1）在随机网络模型方面，我们得到了随机k树最大度数的强极限性质并将之推广到随机Apollonian网上；并以概率论极限定理的技巧严谨证明了地理链接模型具有小世界性但不具有无标度性。..（2）我们考察的统计网络模型与上面提及的随机网络模型具有完全不同的背景、结构及研究问题。我们主要考察了随机块模型和可交换网络模型，在网络大小趋向无穷时证得了一些有关统计量的极限性质。..（3）在渗流问题上，我们主要考察了随机标号根树上的可达渗流问题，得到了增长路径条数Zn和可达顶点个数Cn的联合极限概率生成函数，并得出Zn和Cn的渐近分布均为几何分布。..上述结果在网络分析这个领域具有一定的创新性，也具有一定的理论意义，为我们后续研究打下了良好的基础。.