Cantor集的算术和与平移交及相关问题研究

对Cantor集的算术和(差)的几何结构分析在微分动力系统的研究中具有重要的意义，近二十年来引起了国际上的广泛关注。对涉及到线性齐次Cantor集的情形已取得了很好的结果，本项目拟对线性非齐次Cantor集的算术和（差）的几何结构进行分析研究，寻找其包含一线段或具有正勒贝格测度的充分条件。此外，我们拟给出N-部分齐次线性Cantor集平移交的维数及该平移交为自相似集的充分必要条件。 我们还将研究涉及码密度的自仿Sierpinski毯的子集的Hausdorff及packing 维数的变分原理，确定多尺度Moran型自仿Sierpinski毯的维数，研究某些分布所对应的Dvoretzky随机覆盖问题。项目的研究内容是国际上近期的热门方向，属于分形几何，概率论，动力系统及调和分析的交叉研究领域。

本项目的研究内容涉及(I)Cantor集的算术和与平移交（II）平面自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的研究（III）圆周上随机覆盖问题。通过三年的研究，在上述各方面均取得了一定的成绩，基本完成了本项目当初所提出的目标。. （I）关于Cantor集的算术和与平移交的研究，我们主要分析研究了线性N-部分齐次线性Cantor集平移交的结构，即刻画了该平移交为自相似集合的充分必要条件，同时也给出了平面上三分Cantor集的笛卡尔乘积与其自身平移交为自相似集合的充分必要条件；探讨了线性非齐次Cantor集与自身平移交的分形（Hausdorff,packing,box）维数问题；对Peres和Shmerkin关于两个线性Cantor集代数和结果的例外情形进行了研究。. （II）关于平面自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的研究，我们主要得到了变尺度的随机自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的分形（Hausdorff,packing,box）维数；给出了涉及码密度（组码密度，混合组码密度）的自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的子集的Hausdorff及packing 维数的变分公式；同时也对Gatzoura－Lalley自仿集的一类子集开展了研究。. （III）关于圆周上的随机覆盖问题的研究，我们主要是将经典的圆周上的随机覆盖问题中使用的Lebesgue 测度替换为一般的概率测度，给出了圆周上的点几乎处处被一列随机区间有限次或无穷次覆盖的条件。