随机矩阵特征值问题

本课题研究随机矩阵若干模型的特征值分布问题和中心极限定理。这些都是随机矩阵.领域中的基本而又重要的问题。我们已有的结果主要是关于Toeplitz与Hankel矩阵(包括块状模型)。本课题计划探索若干新的模型，挖掘出模型的内在数学结构, 在统一的框架下处理特征值分布问题和中心极限定理。

本项目研究了随机矩阵乘积特征值的渐近性质, 如极限谱分布, 特征值的局部性质等. 对特征值的极限谱分布的性质以及与Raney数的关系, 提出了几类随机矩阵模型其极限谱分布各阶矩恰为Raney分布的某些特殊情形. 另外对随机矩阵乘积奇异特征值在谱内部、软边缘和硬边缘处的极限核函数也进行了研究. 对高斯随机矩阵乘积证明了谱内部和软边缘处的sine核和Airy核的普适极限, 这是对随机矩阵乘积问题的又一个进展, 与前人的工作结合一起构成了对随机矩阵乘积奇异特征值渐近性质的完整证明..在硬边缘处对带外场的高斯随机矩阵发现并证明了一个对应最小特征值的相变现象, 并在临界点处首次发现一族新的积分核, 此工作被著名杂志Comm. Math. Phys. 审稿人评价为"这些非常漂亮的结果在当前随机矩阵乘积研究中是相当有趣的", "新的临界核展现了随机矩阵理论中一个非常有趣的新现象".