非全局Lipschitz条件下随机微分方程稳态分布的数值逼近及其应用

Stochastic differential equations with stationary distributions have their applications in many fields, such as biological sciences and medical sciences. However, stationary distributions of stochastic differential equations can rarely be expressed explicitly. In this project, we propose to numerically approximate the stationary distributions by the numerical methods for stochastic differential equations. This project focuses on those stochastic differential equations with non-global Lipschitz coefficients and investigates the numerical approximations to their stationary distributions using the modified Euler type methods. The main contents are the existence and uniqueness of the stationary distributions of the numerical methods, the convergence and the convergence rate of the numerical stationary distributions. We also study the approximations to a class of non-linear deterministic differential equations using the numerical methods for stochastic differential equations via the Fokker-Planck equation. The achievements of this project would enrich the theory of numerical approximations to stationary distributions of stochastic differential equations, provide trusted computational methods for biological and medical models, and propose a new idea to approximate some non-linear deterministic differential equations.

具有稳态分布的随机微分方程在生物科学、医学等领域有着广泛的应用。但是，绝大多数随机微分方程的稳态分布的显式表达式都很难得到。在本项目中，我们提出利用随机微分方程的数值方法来逼近稳态分布。我们将主要探讨系数不满足全局Lipschitz条件的随机微分方程，尝试利用改进型Euler算法来逼近它们的稳态分布。主要的研究内容包括数值解的稳态分布的存在唯一性、收敛性和收敛速率。借助Fokker-Planck方程，我们还将研究利用随机微分方程的数值方法逼近一类非线性的确定性微分方程。本项目的研究成果将丰富和发展随机微分方程稳态分布的数值逼近理论，为具体的生物、医学模型提供可靠的计算方法，并为数值逼近非线性确定性微分方程提供一条新途径。

具有稳态分布的随机微分方程在生物科学、医学等领域有着广泛的应用。但是，绝大多数随机微分方程的稳态分布的显式表达式都很难得到。在本项目中，我们提出利用随机微分方程的数值方法来逼近稳态分布。针对具有唯一稳态分布但系数不满足全局Lipschitz条件的随机常微分方程，我们首先研究利用随机theta方法来数值逼近真实解的稳态分布。在利用数值解的马氏性证明了数值解存在唯一的稳态分布之后，进一步证明数值解的稳态分布收敛于真实解的稳态分布。之后，我们又研究了Milstein方法，并证明了Milstein方法得到的数值解具有唯一的稳态分布且该数值稳态分布以速率1收敛于真实解的稳态分布。针对漂移系数和扩散系数都包含超线性增长项的随机常微分方程，我们首先构造了部分truncated欧拉方法，并证明该方法的强收敛阶可以无限接近0.5。进而我们构造了truncated Milstein方法，并证明该方法的强收敛阶可以无限接近1。当随机常微分方程的驱动噪声不仅包含布朗运动还包含泊松过程时，为了处理漂移系数和扩散系数中的超线性增长项，我们构造了truncated欧拉方法，并证明该方法具有无限接近0.5的强收敛阶。在项目进展中，我们产生了一些新想法，并进一步研究了时间变换的布朗运动驱动的随机常微分方程。利用对偶原理，我们研究了此类方程的半隐式欧拉方法和truncated欧拉方法，证明了这两种方法的强收敛性并得到了半隐式欧拉方法的多项式稳定性。项目部分成果已在国内学术会议上向同行专家汇报， 得到了一定程度的认可。项目成果是对随机常微分方程数值方法研究的丰富和发展。