低小平维数下对数典范环的有限生成性

In the minimal model program of birational geometry, abundance conjecture is one of the most important conjectures. In the framework of log canonical pairs, abundance conjecture is equivalent to finite generation conjecture. In this research, we try to prove finite generation conjecture with lower Kodaira dimensions by using the slc-trivial fibration and the mixed Hodge theory.

在双有理几何的极小模型纲领里，富余猜想是其中最重要的猜想之一。在对数典范对的范畴下，富余猜想的一个等价猜想是有限生成猜想。本研究拟通过用半对数典范平凡纤维化以及混合霍奇理论相结合的方法，证明在低小平维数下对数典范环的有限生成性。

本项目涉及极小模型纲领里的富余猜想。该猜想是双有理几何里最重要的猜想之一。在对数典范对的范畴下，富余猜想的一个等价猜想是有限生成猜想。在4维及4维以下的情形，对数典范对的有限生成性于几十年来得到了陆陆续续的解决，但更高维的情形几乎没有什么结果。本项目考察了低小平维数下对数典范对的有限生成性。本项目的主要结果有：1）证明了小平维数为3的投影纯对数终端对的对数典范环是有限生成的。2）证明了4维的丰沛猜想，也即4维规则卡拉比-丘流形上严格数值有效除子就是丰沛的。本项目的结果对富余猜想或者广义富余猜想都有重要的理论支撑作用，其中引进或者发扬的一些技术被期待在未来的研究中有更多更深刻的应用。