Theta函数与Appell函数及其应用

Theta function and Appell function are of two quasi periods. The study of them is important in modern mathematic. And they play vital roles in many mathematic fields, such as number theory, modular form, algebra geometry and Lie superalgebra. There are close relations between Theta function and Appell function. Among them, the former is entire function, the latter is meromorphic function. Applicant probes into theory of Theta function during and after doctoral period, and has published 3 thesises in foreign core periodicals. This project will systematically investigate Theta functions and Appell functions and have on original basis breakthrough and innovation. We will explore in depth the relations between the modular form and the generalized Eisenstein series and them.

Theta 函数和Appell函数是具有拟双周期的两类函数。这两类函数的研究是现代数学的重要课题，在数论，模形式，代数几何，李超代数等数学领域都发挥着重要的作用。Theta 函数是整函数，Appell函数是亚纯函数，而两者之间具有非常密切的关系。项目申请人在攻读博士及毕业后对Theta函数进行深入的研究，在国外重要期刊发表了3篇论文。本项目计划在原有研究的基础上对Theta 函数和Appell函数作一些突破性、创新性的系统研究。我们将利用代数模结构和椭圆函数理论深入研究它们和模形式、一般化的Eisenstein级数等的关系。

本项目以Theta函数和Appell函数为基本研究对象，利用它们的拟双周期性，考虑相关性质。进而深入研究它们和模形式及Eisenstein级数等的关系。从它们的关系中探索一些Theta函数和模形式恒等式及Eisenstein级数展开。这些恒等式和展开式在线性抛物型偏微分方程的研究中具有重要应用。在抛物型偏微分方程的基础上，我们也研究了更一般的分数阶微分方程的求解问题，主要考虑两种分数阶方程的不适定问题：分数阶扩散方程的源项识别问题和Cauchy问题。对于源项识别问题，通过考虑某一光滑区域内分数阶扩散微分方程，我们首先给出一些特殊区域上Green函数的解析形式。以此作为算法基础，主要探讨了特殊点源的恢复问题，即在一定的条件下恢复微分方程源项函数的强度和位置。这类问题是典型的反问题，是不适定的，即数据的微小扰动将给解造成巨大差异。对于点源强度的恢复，我们采用Tikhonov正则化算法，而为了恢复点源位置，我们采用加权均值法。通过构造一些必要的数值例子，算法的稳定性和精确性也得到验证。在讨论Cauchy问题时，主要采用Fourier变换技术，揭示相应问题的不适定本质，在频率域中，为了降低高频部分对噪声的放大，我们利用Dirichlet函数的滤子特性，对问题进行降噪处理，进而得到稳定解。相应算法的稳定性也可由相关数值例子所验证。