正倒向随机微分方程在约束条件下的统计推断

With the rapid development of the theory of Forward-Backward Stochastic Differential Equations(FBSDE), the FBSDE model has been widely applied in the fields of financial mathematics and biological dynamic system, of which the nature of the terminal conditions suit well for the operation situation of some financial markets or the ecological environments. However, the research on statistical inference for terminal dependent FBSDE model is still in its infancy, especially for that of FBSDE with constrained conditions. In this project, we will perform statistical inference and application of constrained FBSDE. By instrumental variables and local bias-corrected techniques, consistent estimators for different generator functions are constructed; With the optimization theory, we study asymptotic behavior of the objective function and the constraints respectively, giving the asymptotic distribution of the estimators; We will construct empirical log-likelihood ratios for unknown parameters and non-parametric function with constraints, derive their limit distributions and obtain the confidence regions for the parameters and point-wise confidence intervals for non-parametric function. Based on the theoretical analysis, some simulation and numerical analysis will be conducted by R software. Real examples in econometrics and finance will be fitted to illustrate the effectiveness the proposed methods.

正倒向随机微分方程（FBSDE）理论发展迅速，它依赖于终端条件的本质特征恰好契合某些金融市场或生态环境的运行态势，其模型被广泛应用于数理金融与生物动力系统等领域。然而终端相依模型，特别是依赖于约束条件的FBSDE模型的统计推断工作仍处于起步阶段。本项目研究终端相依的正倒向随机微分方程在约束条件下的统计推断问题。对应正倒向随机微分方程生成元的不同结构，借助工具变量，构造约束相依的相合估计；利用最优化理论，分别考察目标函数和约束条件的渐近性，给出模型估计量的渐近分布；采用经验似然比检验方法，在有冗余参数及不完全数据下，研究约束信息下模型的假设检验和区间估计问题。在此基础上，利用R软件进行模拟研究，对计量经济学、金融学中的实际问题进行数值分析，以说明研究方法的有效性和实用性。

正倒向随机微分方程（FBSDE）的生存性质给出了方程的解落在某可测集的充要条件，它表现为关于生成元的一个不等式。当将可测集对应投资组合中的收益条件时，不等式就是为达到此收益的约束条件，因而我们提出了有约束条件的FBSDE及其衍生模型的统计推断问题。. 本项目的研究内容包含：在约束条件下，分别就FBSDE模型生成元的不同结构，构造相合估计；在约束条件下，研究FBSDE模型估计量的渐近分布、假设检验和置信区域问题；将研究结果应用于实际问题，探索在金融业中的应用。. 在研究过程中，我们利用非参数估计方法、分位数回归方法、分块经验似然方法、似然比检验方法等对于约束条件下的FBSDE模型及其衍生的模型研究未知参数的估计、渐近分布等，得到了一系列优良的研究结果，并给出了参数估计的数值解法，在实际问题中可以实现应用。关于此模型的实证和应用部分，利用计量经济学、金融学等实际数据拟合建模，目前还在进行中。主要研究成果包含：.(a)在终端条件下，当FBSDE模型生成元为简单的线性函数时，研究了参数的似然估计量和参数的分块经验似然置信域。 .(b)在不等式约束条件下，对于工具变量回归模型及线性FBSDE模型，构造半参数估计，并研究其渐近性质。 .(c)完成文章《非线性期望理论及其统计推断》、《倒向随机微分方程理论及其统计推断》，对于倒向随机微分方程及非线性期望的研究进展进行综述。.(d)项目组成员合作发表SCI论文四篇。文章中所研究的模型与我们的模型有相似之处，或同为数据相依的随机过程，未知参数的取值需要满足一定的约束条件，可以看做是衍生模型，或者数据之间的相关性使得在研究方法上有共通之处。. 本项目研究的模型中嵌入重要的约束信息时，不仅可以在一定程度上提高统计推断的效率，同时也能更准确地契合实际问题。本项目研究成果对于正倒向随机微分方程的统计推断问题是有益的补充，同时此成果有望在将来应用于金融、经济等领域，在理想条件下能帮助投资者有效规避金融风险，具有一定的应用价值和推广意义。