不等式约束下正倒向随机微分方程统计推断问题的研究

The theory of Forward-Backward Stochastic Differential Equation (FBSDE) is of rapid development in recent years, which is widely applicated in areas such as random control, partial differential equation, mathematical finance and economy. Semi-parameteric model contains a major division of model information and has a stronger ability to explain the data. The key issue solved by this project is the statistical inference based on semi-parametric method of Forward-Backward Stochastic Differential Equation with inequality constrains. Inspired by the viability property of BSDE, we propound the problem of statistical inference of Forward-Backward Stochastic Differential Equation with inequality constrains. Combined with statistical methods such as semi-parameteric method, quantile regression method and empirical likelihood method, we gained the parameter estimation and hypothesis test for the model. For the accomplishment of this project, it is not only a useful complement and extension for the statistical inplementation of FBSDE, but has practical significance for financial markets to avoid risks and achieve the optimal portfolio for the investor.

正倒向随机微分方程(FBSDE)的理论研究发展迅速,其在随机控制、偏微分方程、数理金融、经济学等领域都有着广泛的应用。半参数模型集中了主要部分(即参数分量部分)的信息,有较强的模型解释能力。本课题就是基于半参数方法解决不等式约束下正倒向随机微分方程的统计推断问题。我们由倒向随机微分方程的生存性质提出不等式约束下线性FBSDE的统计推断问题，利用半参数方法、分位数回归方法、经验似然等统计方法解决模型的估计和假设检验问题。解决正倒向随机微分方程的统计推断问题，不仅对于倒向随机微分方程的统计实现是一个有益的补充和延伸，同时对于金融市场中规避风险，实现最优投资组合都具有很强的指导意义。

近年来，倒向随机微分方程理论发展迅速，其在随机控制、数理金融、经济等领域都有丰富的应用。基于Buckdan(2000)提出的生存性质，倒向方程的解属于某给定的凸集K内的充要条件归结为关于生成元的不等式，本课题提出了不等式约束下正倒向随机微分方程的统计推断问题。由于倒向程的一个显著特点是有终端条件，因而我们的研究实际上是基于终端条件和不等式条件双重约束下，对线性正倒向随机微分方程进行半参数估计和假设检验的。. 课题组成员主要得到了两个方面的结果：1 在终端条件下考察了具有部分线性生成元的FBSDE的半参数估计及其渐进性质，此模型推广了生成元的结构，在现实中具有更一般的应用；2 在不等式约束下对线性FBSDE的生成元提出了估计方法，考察了其渐进性和算法，并一般性地就不等式约束提出了假设检验思想。模型中不等式约束既有非参部分，又有未知的参数，同时在目标函数中也包含有非参泛函和参数，约束的个数随样本容量而增加，这给我们的研究带来了挑战。我们利用局部线性方法给出了约束非参数估计，并在约束为线性或二次函数时给出了估计的显式表达式，讨论了其渐进性质。而对于有约束的参数估计，一般的约束最小二乘稳健性不够，我们采用了分位数回归方法，并利用内点法给出了参数估计的数值解方法。. 我们的研究模型中不等式约束对应投资者对于风险的容忍度。在一个完备的金融市场中，理性投资者总会依据市场不同程度的风险，适时调整自己的投资策略，调整的依据就是满足假定模型中不等式约束。因而我们的研究课题在实际中有较强的指导意义，可以帮助投资者规避风险，选择最优投资组合。