图函数的时频分析及其应用

Signals, images and videos are functions defined on Euclidean spaces. The basic methods for signal processing and analysis are transformations or decompositions. Fourier analysis, wavelet analysis and time-frequency analysis for non-stationary signal processing are important tools for traditional signal analysis and processing. However, in the modern science and technology, the data from a large number of practical problems are not defined on Euclidean spaces. They are often defined on irregular discrete point sets, such as high dimensional manifold, complex network, point cloud, disease transmission network, city traffic network, human migration network etc.. These data can be modeled as functions on the weighted graphs. Since the graph does not have a natural algebraic and topological structure as the classical Euclidean space, the traditional signal processing methods are no longer suitable for them. In order to analyze and process these data effectively, it is necessary to establish new theory and methods. This project will study the time-frequency analysis for functions defined on graphs and its applications, including the graph structure of the Fourier spectra of functions on graphs; the time-frequency atoms and function decomposition on graphs; the hierarchical structure of graph and the construction of graph wavelet; the estimation of weights of the graph from sample data of a graph function.

信号、图像和视频都是定义在欧几里得空间上的函数，信号处理和分析的基本方法是变换或分解。Fourier分析、小波分析以及非平稳信号处理的时频分析方法是传统信号分析和处理的重要工具。然而，在现代科学技术中，大量的实际问题中的数据并非是定义在欧几里得空间上的函数，它们常常是不规则离散点集上的函数，比如高维流形数据、复杂网络、点云数据、疾病传播网络、城市交通网络、人类迁徙网络等。这些数据可以模型化为加权图上的函数，由于图不具备自然的代数和拓扑结构， 因此传统的信号处理方法不再适应。为了对这类数据进行有效的分析和处理，需要建立相关的数据处理理论和方法。本项目将研究图上函数的时频分析及其应用，包括图函数Fourier频谱的图结构及其频谱性质研究；图函数的时频原子与函数分解；图的分层结构及其相关的图小波；从图函数的样本数据反求图权重等问题及其应用。

本项目课题组围绕图函数的Fourier频谱结构及其性质、图信号的分解和重构、图函数的逼近定理、图小波和及其图模型的计算与应用问题开展了全面和深入的研究。其研究成果已发表论文15篇，4名博士生和6位硕士生获得学位。与国内外同行开展了广泛的学术交流活动。取得的主要研究成果概述如下。.图函数傅里叶变换是图形信号处理中的一个基本问题。其核心的构成是图函数的时频原子，这种原子在数学上构成图函数空间的规范正交基，在物理内涵上代表一定分层的频谱结构。传统的图函数傅里叶变换是通过图拉普拉斯矩阵的特征向量来定义。我们提出了一个基于l1光滑性的广义定义，得到了l1傅里叶基满足的一个必要条件，并给出了一个快速贪婪算法来近似构造l1傅里叶基。这样的图傅里叶时频原子具有更好的局部性。.图函数的采样和重构是图信号处理中的一个基本课题。我们提出了带限图函数测量的一般模型，它包括三种现有的基本采样作为其特例。建立了完全重构定理。提出了一种基于凸投影的迭代重建算法，并通过数值实验验证了算法的有效性。我们的结果比现有文献的结果更一般并且更深刻。对于聚合图函数采样，文献表明，利用单个节点上的前几个观测值，可以实现带限图形信号的完全重构。然而，采样矩阵具有Vandermonde病态结构，计算不稳定且难以用于大规模图。我们从单节点采样方案入手，重新建立了重构理论。并将其扩展到多节点抽样方案。.对于组合图上函数在Paley-Wiener空间中的逼近问题，我们使用一列图平移算子来定义光滑模，建立了图上定义的函数的Jackson不等式和Bernstein不等式。所建立的结果形成了组合图上函数逼近的理论，为图信号的滤波、去噪、数据降维提供了理论基础。.此外，我们还针对互联网推荐系统问题提出了基于图数据分析的预测模型，改进了已有文献的推荐效率。研究了深度学习网络的受限Boltzmann机的逼近能力，以及对于fMRI的分类应用。