Dolbeault上同调的形变理论与跳跃现象

Dolbeault cohomology is a very important research object in complex geometry. The dimension of Dolbeault cohomology groups may jump in an analytic family. The reason of this phenomenon is a subject worth studying. A famous conjecture of Yum-Tong Siu says that the plurigenera of Kahler manifolds remain constant under deformation. By adopting the viewpoint of deformation theory in the sense of Kodaira-Spencer and pushing the power series method further, the present project aims to answer the critical question that why the dimensions of the Dolbeault cohomology jump. This project will establish a complete theory for the deformations of Dolbeault cohomology and provide theoretical basis to the resolution of Siu's conjecture.

Dolbeault上同调是复几何中非常重要的一个研究对象。Dolbeault上同调群的维数在复解析族中可能会产生跳跃，这种现象产生的原因是一个值得研究的课题。Kahler流形的多亏格在形变下保持不变，这是肖荫堂的一个著名猜测。本项目从Kodaira-Spencer意义下的形变理论的观点出发，拟进一步用幂级数法，旨在回答Dolbeault上同调群的维数在形变下为什么会产生跳跃这一关键问题。本项目将为Dolbeault上同调的形变建立一套完整理论，并为解决肖荫堂猜想提供理论基础。

Dolbeault上同调是复流形上一个基本的不变量，其维数在复解析族中可能会产生跳跃，这种现象产生的原因是一个值得研究的课题。Kahler流形的多亏格在复结构形变下保持不变(即：没有跳跃)，这是肖荫堂的一个著名猜测。诸如此类的问题在复几何中已有了不少研究，比如：Kodaira-Spencer于60年代证明了著名的上半连续性定理，作为一个应用，我们可以得到Kahler流形的Hodge数是形变不变的。肖荫堂于2002年证明了射影流形族的多亏格是形变不变的。最近，饶胜与人合作证明了同样的结论对任意一族Moishezon流形也成立。.本项目的主要内容及其科学意义包括以下三部分：.一．引入了新的延拓算子，这个延拓算子适用于取值在任意张量从的(0,q)-形式，并证明了相应的延拓方程。.二．定义了Dolbeault上同调类的形变，用幂级数法构造了典范形变，完全厘清了典范形变的存在性与Dolbeault上同调群维数在形变下变化的关系。具体来说，我们得到了Dolbeault上同调群维数的变化等于典范形变存在的那些调和(0,q)、(0,q-1)-形式所构成线性空间的维数，特别地，q次Dolbeault上同调群维数在形变下保持不变的充分必要条件是调和(0,q)、(0,q-1)-形式的典范形变是没有障碍的，这为解决一般的形变不变性问题提供了基础。此外，我们证明了Dolbeault上同调类中由不同代表元得到的典范形变在等价意义下是唯一的。作为应用，我们证明了对于某些非Kahler流形，Hodge数仍是形变不变的；我们计算了Iawasa流形上典范形变，利用我们建立的形变理论和上面提到的维数公式，为Dolbeault上同调群维数的跳跃现象提供了精确的解释。.三．对于复流形上的Bott-Chern上同调和李代数上的Dolbeault上同调，我们建立了类似的理论，并得到了两个重要应用：1.复流形上(q,0)或(0,q)次Bott-Chern上同调群的维数在解析Zariski拓扑下是上半连续的；2.对于一族形如Γ\G的复流形(这里，G是一个李群，Γ是G中的一个格点)，我们证明了那些Dolbeault上同调可以用左不变张量场来计算的纤维所对应的参数构成底空间的一个开集(在解析Zariski拓扑下)。据我们所知，此类Zariski拓扑下的形变稳定性结果在文献中是比较少见的。