Poisson代数的形变与非交换代数的同调理论

Deformation quantization is an important tool in mathematics and physics. The main purpose in this project is to investigate homological properties and structures of some noncommutative algebras by using Poisson algebras and their deformation quantization theory. We will try to use Poisson structures over smooth algebras to construct new examples of Artin-Schelter regular algebras or Calabi-Yau algebras, which may lead a new strategy for the classification of Artin-Schelter regular algebras. We will explore the relation between Poisson (co)homology of Poisson algebras and Hochschild (co)homology of the deformation quantization algebras. In particular, we will study when the two cohomology rings are isomorphic as Gerstenhaber algebras or Batalin-Vilkovisky algebras. We also try to define homological trace for (modular) derivations, and explore the relation between the modular derivations of Poisson algebras and the Nakayama automorphisms of the deformation quantization algebras. Furthermore, the connections between deformation quantization, Koszul duality and noncommutative invariant theory will also be discussed.

在数学和物理中，形变量子化是一个重要的思想和工具。本项目拟利用Poisson代数及其形变量子化理论研究一些非交换代数的结构及同调性质。拟通过光滑代数上的Poisson结构来寻求新的Artin-Schelter正则代数或Calabi-Yau代数的例子，为高维Artin-Schelter正则代数的分类提供新的思路。试图揭示Poisson代数的Poisson（上）同调与其形变量子化代数的Hochschild（上）同调之间的关系，特别地，研究两个上同调环作为Gerstenhaber代数或Batalin-Vilkovisky代数的同构问题。研究Poisson代数的模导子的同调trace，讨论Poisson代数的模导子与形变量子化代数的Nakayama自同构的关系。 本项目还将探讨形变量子化与Koszul对偶、非交换不变量理论的关系，揭示Poisson代数与其形变量子化代数之间的深刻联系。

在数学和物理中，形变量子化是一个重要的思想和工具。我们从滤形变的角度，研究了斜Calabi-Yau代数和Poisson代数的关系，特别是Nakayama自同构和modular导子的关系。当A是一个滤代数且它的相伴分次环gr(A)是交换Calabi-Yau代数时，gr(A)有一个典范的Poisson代数结构且A是斜Calabi-Yau代数。我们通过研究Hopf作用的同调行列式并利用同调行列式为桥梁，刻画了斜Calabi-Yau代数A的Nakayama自同构与Poisson代数gr(A)的modular导子的关系；特别地，得到gr(A)是unimodular Poisson代数时，A是Calabi-Yau代数。作为应用，得到光滑代数簇上的微分算子环总是Calabi-Yau代数。.我们研究了Poisson代数不可约表示的Dixmier-Moeglin等价。近几年，关于Dixmier-Moeglin等价在Poisson代数不可约表示中的应用得到重视和研究，特别是引入了复几何和model理论的方法，使得这方面的研究迅速发展。我们利用Poisson素谱中Poisson素理想的偏序关系(和极大谱的辛叶分层)给出A满足Poisson Dixmier-Moeglin等价的一个拓扑判别法。特别地，Poisson素谱的Zariski拓扑可以探测复仿射Poisson algebra A何时满足Poisson Dixmier-Moeglin等价. 这个结果是在一个更广的框架，即充分大的基域上的微分代数上，完成证明的。.我们还研究了Frobenius Poisson代数的结构和同调性质. 具体地，对Frobenius Poisson代数的上链复形上的Batalin-Vilkovisky结构给出了精确刻画；引入了一类特殊的Frobenius Poisson代数——Pseudo unimodular Poisson代数，并证明了任一Frobenius Poisson代数R的上同调环上存在诱导的Batalin-Vilkovisky结构当且仅当R是Pseudo unimodular的. 对多项式Poisson代数的truncated代数，给出了这两类Poisson代数的modular derivations之间的关系。