随机色散方程及相关三对角随机矩阵几类问题的研究

Stochastic dispersive equations play important roles in quantum physics and nonlinear dispersive waves. Moreover, tridiagonal random matrices are deeply related to random Schrödinger operators, with wide applications in various fields such as probability, spectral theory as well as representation theory. The purpose of this project is to study some important theoretical problems in these two fields, the main part includes: the well-posedness and scattering of stochastic nonlinear Schrödinger equations with colored noise, local well-posedness of stochastic Schrödinger equations driven by white noise, optimal control problems of some important stochastic dispersive equations, including stochastic Korteweg-de Vries equations, and related applications to large deviations and support of distributions, as well as Gaussian fluctuations of determinant and university of eigenvalues for tridiagonal random matrices.

随机色散方程是量子物理和色散波研究的重要方程，并且三对角随机矩阵和随机薛定谔算子有着深刻的内在联系，在概率论、算子谱理论和表示论中具有广泛应用。本项目旨在探讨随机色散方程及相关三对角随机矩阵的几类重要理论问题，主要内容包括如下几部分：随机非线性薛定谔方程的适定性和散射现象；含白噪声的随机非线性薛定谔方程的局部适定性；一些重要随机色散方程的最优控制问题，包括随机Korteweg-de Vries方程，及控制问题在大偏差估计和分布支撑集的应用；以及三对角随机矩阵行列式的高斯涨落现象和特征值的普适性现象。

随机色散方程是量子物理的重要方程，随机非线性薛定谔方程是一类具有代表性的随机色散方程；随机薛定谔算子也和随机矩阵具有深刻联系，在概率论、算子谱理论和表示论中具有广泛应用。本项目旨在探讨随机色散方程和随机矩阵几类重要理论问题，主要研究内容包括：随机非线性薛定谔方程的适定性和动力学行为，随机色散方程的最优控制问题及其应用，随机矩阵的普适性现象。.目前已取得的科研成果包括有：在聚焦、质量临界情形，构造了随机非线性薛定谔方程的双对数爆破解；在最优正则性初值情形下，证明了随机非线性薛定谔方程最优控制的存在性和几何刻画；对较广的一类耗散型随机偏微分方程证明了最优控制的存在性，并应用于随机多孔介质方程、随机反应扩散方程等多个重要的随机偏微分方程；关于较一般的酉不变系综，证明了特征值的高斯涨落和偏差估计等结果。这些成果丰富了已有的随机偏微分方程文献，提供了新的研究方法，得到国内外多位专家引用。.此外，三维Navier-Stokes方程的弱解非唯一性是近年来一项重要的数学进展。然而，由于磁流体方程组同时包含Navier-Stokes方程和Maxwell方程的强耦合，已有的Navier-Stokes方程的凸积分模块不能应用于磁流体方程组。项目负责人与合作者构造了一类新型的具有更强间歇性的凸积分模块，以此证明了磁流体方程组的弱解非唯一性，并证明了Taylor猜想在一般的粘性和磁阻率消去极限下不成立。