由边界测量数据的反演计算问题

In this project we will study the numerical algorithm for the some inverse problems of partial differential equations: from the measured boundary data to identify the function or free boundary in domain, or from the partly measured boundary data to recovery the other boundary data. The governed problems in domain are elliptic differential equation, or parabolic differential equation or some nonlinear system associated with variational inequality.. We will discuss further the complex Robin boundary condition to treat the measured both Dirichlet and Neumann boundary datas. We will study the theory, numerical analysis and stability of the method. We will also discuss the Kohn-Vogelius type method with Tikonov regularization. We will construct two differential equations associated with the regularization small parameter and obtain some results uniformly with respect to small parameter. We are mainly focused on the theory, stability, error estimates and effective algorithm of our numerical method. The problems we discussed here have great application in bioluminescence tomography and the identification of the crack or damage in an elastic body.

本项目研究微分方程的反问题计算：由边界测量数据反演区域内部量，或部分边界测量数据反演另一部分边界值等问题。区域上的问题是椭圆型微分方程、或抛物型微分方程，或具有自由边界的对应于变分不等式的方程。. 我们将深入研究复耦合Robin边界条件来处理测量数据的Dirichlet和Neumann边界条件，研究此方法的反演计算的理论和数值分析及稳定性。在利用正则化方法时，我们还将讨论Kohn-Vogelius型方法，将构造的两个微分方程和正则化小参数相结合，得到一致于正则化参数的结果。我们将主要研究数值格式的理论、稳定性、误差估计及算法的高效率实现。我们研究的问题在生物光源体的图像处理、弹性体的缝隙和损伤探测等具有重要的应用。

本项目研究微分方程反问题的数值方法，通过边界上的Dirichlet和Neumann测量数据去反演区域内的量。我们主要研究医学成像中生物发光体的反源问题及药物层析分离模型的系数反演问题，具有理论意义和应用前景。我们通过边界测量数据计算区域反源函数，这是生物发光体成像模型的问题，我们研究基于复边界耦合方法及Kohn-Vogelius方法，将问题转化为区域内的优化问题，应用正则化理论，得到理论结果和误差估计。我们还研究药物层析法分离成份的数学模型，通过边界额外测量数据反演区域内的函数中的某些系数，我们应用耦合复边界方法及Kohn-Vogelius方法，得到一系列成果，为改进数学模型提供数学依据。同时我们对部分边界测量数据去反演另一部分边界量的Cauchy问题，反演Robin边界系数等问题也开展研究，得到较好的理论结果和数值算法。