三维流形上的切触结构

Recently, the study of contact structures on 3-dimensional manifolds becomes one of the active topics in low dimensional topology. In this project, we study the contact structures on 3-manifolds, including the Stein fillings of contact 3-manifolds, Legendrian knots in contact 3-manifolds, and open book decompositions. Precisely, we study the existence of Stein fillable contact structures on hyperbolic 3-dimensional manifolds, the existence of non-loose Legendrian knots in overtwisted contact 3-manifolds, the estimation of fractional Dehn twist coefficients of the open book decompositions, and the determination of support genus of contact 3-manifolds. The study of these problems will shed new light on the understanding of the topology, geometry, and invariants of contact 3-manifolds.

三维流形上的切触结构的研究是目前低维拓扑中的活跃课题之一.本项目研究三维流形上的切触结构, 包括切触三维流形的Stein填充，切触三维流形中的 Legendrian纽结，以及切触三维流形与open book分解. 具体来说，本项目研究双曲三维流形上的Stein可填充的切触结构的存在性，overtwisted切触三维流形中的non-loose Legendrian纽结的存在性， 以及open book分解的分数的Dehn twist系数的估计，切触三维流形的支撑亏格的计算. 这些问题的研究和解决将加深人们对切触三维流形的拓扑，几何，特别是它们的各种不变量，的理解.

本项目主要研究三维流形上的切触结构。与刘亚晶合作首次发现了不存在可填充的切触结构的双曲三维流形。与丁帆合作研究了环面丛上的切触结构的可填充性。与Burak Ozbagci合作对不可定向闭曲面上的单位余切丛的典范切触结构的辛填充进行了分类。与丁帆吴忠涛合作利用切触手术对切触结构的tight性质，切触结构的Heegaard Floer不变量进行了研究。与吴忠涛合作对有理零调的Legendrian 纽结的有理Thurston-Bennequin invarian给出了一个上界。