两类时间周期反应扩散传染病模型的空间动力学研究

It is an important tool on studying the disease prevention and control by using reaction-diffusion model to describe and explore the mechanism of spatial spread of infectious diseases. At present, most results on reaction-diffusion epidemic models are based on the hypothesis of transimission of one infecitous disease in one population.However, the mluti-group or multi-strain factor is ignored. In addition, the periodic factors, such as diurnal cycle and seasonal variation, etc, play a key role in host-pathogen interactions. Hence, it is crucial and more realistic to take into account time-peridic reaction-diffusion epidemic model with the mluti-group or multi-strain. However, these models not only possess complicated structure of such evolution systems, but also lose the monotonicity, which causes some essential difficulties in studying the spatial dynamics of these models. In this project, by constructing principally the upper and lower solutions, combining with other methods, such as dynamical system, nonlinear functional analysis, functional differential equations, the boundary value problem of time-periodic linear and semilinear parabolic equations,etc, we will investigate the spatial dynamics of non-monotonic time-peridic reaction-diffusion epidemic model with the mluti-group and multi-strain, respectively. Precisely, at first, we will establish the asymptotic speed of spread of a time-periodic reaction-diffusion mluti-group SIR epidemic model which lacks the comparison principle; on the basis of it, we will take into account the traveling wave solutions and obtain complete information about the existence and nonexistence of nontrivial traveling wave solutions of this model; furthermore, threshold dynamics of a non-monotonic time-periodic and two-strain SIS reaction-diffusion epidemic model can be analyzed; finally, using numerical simulation, the basic framework of the spatial dynamics of these two models can be well decirbed.

通过反应扩散模型来描述和探究传染性疾病的传播机理是传染病防控策略研究的重要工具。目前，对这类模型的研究主要针对一种疾病在一个种群中传播，忽略了多种群或多链因素。此外，昼夜更替、季节变迁等时间周期因素对宿主和病原体之间的相互作用也有重要影响。因此，研究时间周期反应扩散两种群SIR或双链SIS传染病模型具有重要意义。然而，这两类模型的非单调性不仅使系统不满足比较原理，还受限于模型结构复杂，是其空间动力学研究的难点。本项目将通过构造上、下解，结合动力系统、非线性泛函分析、泛函微分方程、周期线性或半线性抛物方程的边值问题等理论，对周期反应扩散两种群SIR传染病模型以及周期反应扩散双链SIS传染病模型的空间动力学进行分析。研究内容包括：对两种群SIR模型的渐近传播速度进行研究，建立相应的渐近传播理论；基于此，分析其行波解的存在性问题；研究双链SIS模型的阈值动力学；通过数值模拟对其研究结果进行验证。

反应扩散系统已成为研究传染病防治策略的重要工具之一。近年来，对于该问题的研究集中于反应扩散传染病模型的阈值动力学、行波解以及 Cauchy 型问题解的长时间行为，其中反应扩散 SIS 和 SIR 传染病模型是重点研究对象。而这两类模型主要针对一种传染病在同一种宿主中的传播，忽略了病毒的异质性，季节性以及垂直传播等重要因素。因此本项目将这些因素予以考虑，具体研究内容如下：.（1）考虑了具有固定潜伏期的时间周期反应扩散双链 SIS 传染病模型的阈值动力学。首先，建立了单链 SIS 传染病的阈值动力学行为；基于此，借助动力系统的方法得到了：当第i条链的疾病再生数R0i≤1(i=1,2) 时无病平衡周期解全局吸引，当 R0i >1≥R0j(i≠j,i,j=1,2) 时第 j 条链的疾病消亡且第 i 条链的疾病将会形成地方病，而当第i条链的入侵再生数B0i>1(i,j=1,2) 时两条链的疾病将都会形成地方病。.（2）解决了时间周期反应扩散 SIR 传染病模型的渐近传播速度以及周期行波解。通过上、下解、比较原理以及动力系统等相关方法，研究时间周期反应扩散 SIR 传染病模型的渐近传播速度；基于此，结合 Schauder 不动点定理和反证法，解决了周期反应扩散两种群 SIR 传染病模型的周期行波解存在性问题。.（3）建立了具有非线性发生率反应扩散 SEIR 传染病模型行波解的存在性问题。通过 Schauder 不动点定理以及 Lyapunov 泛函找到了行波解存在性的判定准则；利用反证法或 Laplace 变换证明了行波解的不存在性问题；通过数值模拟的方法展示了行波解的基本轮廓。.（4）研究了具有垂直传播反应扩散 SIR 传染病模型的渐近传播速度。得到以下结论：当基本再生数 R0≤1 时，模型的无病平衡解是全局吸引的；当基本再生数 R0>1 时，如果疾病的传播速度 c 大于或等于易感者的扩散速度 c*，则该传染病会形成地方病；若传染病的传播速度 c 小于易感者的扩散速度 c*，则该传染病将会得到控制。