两类第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质

The weakened 16th Hilbert's problem proposed by the mathematician V.I. Arnold is one of the most famous and challenged problem in the field of nonlinear differential equations. The Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind is intimately related to this problem. This project attempts to investigate the Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind when the hyperelliptic curves are genus 2. Specifically, the main content can be generalized as the following:.1)By virtue of the Chebyshev criterion for Abelian integrals and the asymptotic expansions of Melnikov function, we study the Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind when the corresponding parameters change on the bifurcation diagram..2)We study the Chebyshev property of complete hyperelliptic integrals of the first kind when the degree of hyperelliptic Hamilton is six..The work in this project are the hot research subject in bifurcation theory and qualitative theory of differential equations.

数学家V.I. Arnold提出的弱化Hilbert第16问题一直是非线性微分方程领域中著名且富有挑战的问题，与该问题密切相关的一个问题是第一型完全超椭圆积分Chebyshev性质的判定。本项目拟研究沿亏格为2的超椭圆曲线定义的第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质，主要研究内容包括以下两部分：1)借助Abel积分Chebyshev性质的代数判据以及Melnikov函数的渐近展式，研究当亏格为2的五次超椭圆曲线对应的参数值在分支曲线上变动时，第一型完全超椭圆积分是否一致具有Chebyshev性质；2)拟在第一个研究工作的基础上，利用实分析方法并借助符号计算和渐近展式研究沿亏格为2的六次超椭圆曲线定义的第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质。该项目的研究内容是微分方程定性理论和分支理论中的热门研究课题，具有重要的理论意义。

数学家V.I. Arnold提出的弱化Hilbert第16问题以及第一型完全超椭圆积分的Chebyshev性质判定问题一直是非线性微分方程领域中著名且富有挑战的难题，并受到国内外数学家的重视。我们围绕上述两个问题进行了以下工作：1）研究当亏格为2的六次超椭圆曲线的参数取值在分支曲线上变动时，沿其定义的第一型完全超椭圆积分是否一致满足Chebyshev性质，通过研究两个Abel积分比值的单调性得到第一型完全超椭圆积分具有Chebyshev性质的充分条件。2）考虑一类具有2阶退化尖点环的五次超椭圆Hamiltonian系统的八次多项式扰动，利用Chebyshev性质的代数判据与Melnikov函数的展开式研究了Abel积分孤立零点个数的精确估计和退化尖点环的环性数问题。这些研究内容是微分方程定性理论和分支理论中的热门研究课题，具有重要理论意义。