Volterra积分微分方程的多区间Chebyshev和Legendre谱配置法

Spectral method often provides exceedingly accurate numerical results with relatively less degree of freedom, and has been widely used for numerical simulations of various problems arising in physics, engineering and biology. In recent years, it is becoming one of research hotspots for spectral method to solve numerically Volterra integro-differential equations. In this proposal, we investigate multi-interval Chebyshev spectral collocation methods for nonlinear Volterra integral equations, nonlinear Volterra functional integro-differential equations with vanishing variable delays, and multi-interval Legendre spectral collocation methods for two-dimensional Volterra integral equations. They will further expand the applications of spectral method, enrich the numerical methods of the integro-differential equations, and provide some high accuracy algorithms for related problems in this field.

谱方法具有高精度，并被广泛地应用于物理、工程和生物中有关问题的计算。近年来，利用谱方法来数值求解Volterra积分微分方程正成为该领域的研究热点之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。本项目主要研究以下问题：非线性Volterra积分方程的多区间Chebyshev谱配置法，非线性滞时Volterra泛函积分微分方程的多区间Chebyshev谱配置法以及二维Volterra积分方程的多区间Legendre谱配置法。这些问题的解决将进一步拓广谱方法的应用范围，发展和丰富积分微分方程的数值解法，并为该领域的有关问题提供一些高精度的快速算法。

本项目的研究背景：谱方法具有高精度，并广泛地应用于物理、生物、化学与工程等许多领域中有关问题的计算。.本项目主要研究内容：四边形区域上二阶椭圆型方程混合边值问题的拟谱方法；带有弱奇异核的非线性Volterra积分微分方程的多区间Legendre谱配置法和多区间Chebyshev谱配置法；非线性Volterra积分方程的多区间Chebyshev谱配置法；非线性Volterra积分微分方程的多区间Chebyshev谱配置法。.本项目的重要研究结果：.1.引入了一种新的Legendre-Gauss型插值，建立了相应的逼近理论，并构造了一个四边形区域上二阶椭圆型方程混合边值问题的拟谱方法，证明了该方法的谱精度。该方法也适用于定义在更复杂区域上的其他问题；.2.对于带有弱奇异核的非线性Volterra积分微分方程提出并分析了多区间Legendre-Jacobi谱配置法和多区间Chebyshev-Jacobi谱配置法；.3.对于非线性滞时Volterra积分方程构造了多区间Chebyshev-Gauss-Lobatto谱配置法；.4.对于非线性滞时Volterra积分微分方程提出了多区间Chebyshev-Gauss-Lobatto谱配置法。.本项目的科学意义：上述问题为近期谱方法研究的热点之一，这些问题的解决将进一步拓展谱方法的应用范围，发展和丰富积分微分方程的数值解法，并为该领域的有关问题提供一些高精度稳定的快速算法。